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応用数学II 2008年演習問題
問題１：日本の国内総生産指数Sを時間ｔの関数として
S (t)= a＋bt＋ct2
という数学モデルで表現したい。観測データとこの数学モデルとの差をモデル誤差とよぼう。観測されたn個のデータを用いてモデル誤差
g(t) = 観測されたS(t) – モデルで予測されたS (t)
が最小になるように係数a,b,cを決める公式を導け（つまり係数a,b,cを観測データS(t)と時間ｔを用いて表現せよ）。
[ヒント: すべての観測データをもちいたモデル誤差の総和
Σ｛S(t)- S (t) ｝２
をaまたはbまたはcで偏微分したうえでそれらをゼロとおいて得られた3つの式を連立してとけばよい。]
問題２：1965年度の日本のGNPを100％,日銀券の平均発行指数を100％,東京都の平均物価指数を100％, 企業の設備投資資金を100％として、1965年から1970年までのこれらの値を観測した表は
GNP N日銀券の平均発行指数 B物価指数 I設備投資資金
1965 100 100 100 100
1966 120.3 119.9 105.3 120.8
1967 132.1 141.5 112.2 126.9
1968 154.1 166.7 121.1 174.8
1969 177.0 186.3 126.1 194.1
1970 195.3 207.7 135.1 219.2
である。1,965年度のGNP,日銀券の平均発行指数、物価指数、設備投資資金高指数の（初期）値からの偏差をそれぞれ小文字のs,n,b,iで表現する。GNPの伸びsは企業の設備投資金高指数100＋iの(積み重なった)積分効果であると考えなければならないことに注意して、これらの観測データs,n,i,bに単相関と重相関の方法を用いると以下のような線形の数学模型が得られる
（１）n = k1・ｓ+k2・b
（２）i = k 3 ・ｎ
（３）b = k4 ・t
（４）s = (1/k5)・∫(100+i)dt
観測された変数s,n,b,iが時間tの関数であることに注意してこれらの観測値s,n,b,iをラプラス変換したものL(s), L(n), L(b), L(I)を求めよ。
問題３：上でラプラス変換された4つの式L(s), L(n), L(b), L(I)はいづれも線形の代数方程式である。これら4つの線形代数方程式をひとまとめにしてブロック図を用いて表現したものが1965年から1970年までの観測データから得られた日本経済模型のブロック図である。このブロック図にはフィードバックループが1つある。このフィードバックループは観測で得られた係数k1,k3,sk5dで構成されている（このsはGNPではなく、現実世界の時間ｔをラプラス変換したときの複素変数sであることに注意せよ）。では問題をだそう。
（１） ＧＮＰをSで表現したことを思い出しながら、L(s)を出力としたブロック図を描け。
（２） 日銀券の平均発行高L(n)を出力としたブロック図を描け。
問題４：上の問題３の（１）と（２）で得られたブロック図の出力L(n) L(s)を数学式で表現し、L(n) やL(s)を逆ラプラス変換するとnとs は時間ｔの関数になる。時間ｔの関数としてn(t) とs(t)を表現せよ。
問題５：問題３の（１）では、日銀券の平均発行高N＝100＋nが日本のGNP=100+sをあげ、同時に平均物価指数100+bを上昇させることを示している。では平均価指数を上昇させないでGNPを成長させるように日銀券の発行高を調整することができるのであろうか？（つまり問題３の物価指数bが時間ｔとともに変化しないこと、すなわち係数k4=0となる社会を目指すことができるのだろうか？）
上の問題５で求めた物価上昇を表す数学模型をs(t)で係数k4＝0とした模型をs0(t)とかき、これをインフレゼロ社会の物価模型とよぼう。インフレにならないように日銀券の発行高を制限したとき、GNPは成長しないのだろうか？いや、そうではない。問題３で求めた公式s(t)でk4=0としたものをs0(t)とかくと、このs0(t)はインフレゼロ社会でのGNP上昇分で、インフレゼロ社会においてさえもGNPは成長するのである。
ここで
s(t)−s0(t)
は消費者物価を上昇させることにより（つまりインフレにして）GNPを成長させた分である。
さて問題をだそう。インフレゼロ社会における日銀券の平均発行指数を現す数学模型をno(t)と書こう。このときn(t)−n0(t)は何を表現する数学模型か？
問題１：日本の国内総生産指数Sを時間ｔの関数として
S (t)= a＋bt＋ct2
という数学モデルで表現したい。観測データとこの数学モデルとの差をモデル誤差とよぼう。観測されたn個のデータを用いてモデル誤差
g(t) = 観測されたS(t) – モデルで予測されたS (t)
が最小になるように係数a,b,cを決める公式を導け（つまり係数a,b,cを観測データS(t)と時間ｔを用いて表現せよ）。
[ヒント: すべての観測データをもちいたモデル誤差の総和
Σ｛S(t)- S (t) ｝２
をaまたはbまたはcで偏微分したうえでそれらをゼロとおいて得られた3つの式を連立してとけばよい。]
問題２：1965年度の日本のGNPを100％,日銀券の平均発行指数を100％,東京都の平均物価指数を100％, 企業の設備投資資金を100％として、1965年から1970年までのこれらの値を観測した表は
GNP N日銀券の平均発行指数 B物価指数 I設備投資資金
1965 100 100 100 100
1966 120.3 119.9 105.3 120.8
1967 132.1 141.5 112.2 126.9
1968 154.1 166.7 121.1 174.8
1969 177.0 186.3 126.1 194.1
1970 195.3 207.7 135.1 219.2
である。1,965年度のGNP,日銀券の平均発行指数、物価指数、設備投資資金高指数の（初期）値からの偏差をそれぞれ小文字のs,n,b,iで表現する。GNPの伸びsは企業の設備投資金高指数100＋iの(積み重なった)積分効果であると考えなければならないことに注意して、これらの観測データs,n,i,bに単相関と重相関の方法を用いると以下のような線形の数学模型が得られる
（１）n = k1・ｓ+k2・b
（２）i = k 3 ・ｎ
（３）b = k4 ・t
（４）s = (1/k5)・∫(100+i)dt
観測された変数s,n,b,iが時間tの関数であることに注意してこれらの観測値s,n,b,iをラプラス変換したものL(s), L(n), L(b), L(I)を求めよ。
問題３：上でラプラス変換された4つの式L(s), L(n), L(b), L(I)はいづれも線形の代数方程式である。これら4つの線形代数方程式をひとまとめにしてブロック図を用いて表現したものが1965年から1970年までの観測データから得られた日本経済模型のブロック図である。このブロック図にはフィードバックループが1つある。このフィードバックループは観測で得られた係数k1,k3,sk5dで構成されている（このsはGNPではなく、現実世界の時間ｔをラプラス変換したときの複素変数sであることに注意せよ）。では問題をだそう。
（１） ＧＮＰをSで表現したことを思い出しながら、L(s)を出力としたブロック図を描け。
（２） 日銀券の平均発行高L(n)を出力としたブロック図を描け。
問題４：上の問題３の（１）と（２）で得られたブロック図の出力L(n) L(s)を数学式で表現し、L(n) やL(s)を逆ラプラス変換するとnとs は時間ｔの関数になる。時間ｔの関数としてn(t) とs(t)を表現せよ。
問題５：問題３の（１）では、日銀券の平均発行高N＝100＋nが日本のGNP=100+sをあげ、同時に平均物価指数100+bを上昇させることを示している。では平均価指数を上昇させないでGNPを成長させるように日銀券の発行高を調整することができるのであろうか？（つまり問題３の物価指数bが時間ｔとともに変化しないこと、すなわち係数k4=0となる社会を目指すことができるのだろうか？）
上の問題５で求めた物価上昇を表す数学模型をs(t)で係数k4＝0とした模型をs0(t)とかき、これをインフレゼロ社会の物価模型とよぼう。インフレにならないように日銀券の発行高を制限したとき、GNPは成長しないのだろうか？いや、そうではない。問題３で求めた公式s(t)でk4=0としたものをs0(t)とかくと、このs0(t)はインフレゼロ社会でのGNP上昇分で、インフレゼロ社会においてさえもGNPは成長するのである。
ここで
s(t)−s0(t)
は消費者物価を上昇させることにより（つまりインフレにして）GNPを成長させた分である。
さて問題をだそう。インフレゼロ社会における日銀券の平均発行指数を現す数学模型をno(t)と書こう。このときn(t)−n0(t)は何を表現する数学模型か？
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コメント(6)
上の問題で実際に1965年から1970年までの間に観測されたGNP,日銀券発行指数、物価上昇指数、設備投資指数を使って、ｓ（ｔ）−So(t)をグラフに描いてみると、
「ゼロインフレ社会における貨幣発行指数の2.5倍も日銀券を発行してインフレを起こして（民衆に痛みをおしつけて）得られた当時の日本社会のGNPの成長指数はインフレゼロ社会におけるGNP成長指数の３分の１でしかなかったことがわかります。」
「つまりゼロインフレ社会の2.5倍の物価高を民衆に強要しておきながら、民衆の犠牲の上に潤ったこの国のGNPは、民衆の犠牲ゼロのゼロインフレ社会におけるGNP成長指数のたった３０％しか上昇しなかった」のです。
つまり当時の（国家独占資本主義？計画経済大企業社会主義？を実践していた）日本の金融監督庁の官僚お兄ちゃんは、「民衆が物価高を我慢して日本のGNPを成長させようと努力したのですが、その努力の成果はとるに足りないものだった。つまり官僚が努力すればするほど民衆は苦しみ、その成果としてのGNPはインフレゼロ社会に比べて屁のようなものだった」ということが結論されます。
社会現象のすべてがこのような線形モデルで表現できるとは限りませんが、現象間の因果関係がわかっている場合においてのみ、線形モデルと観測データを使えば、納税者に対して公僕（官僚）がどう振舞ったかが見えてくるようにおもいます。
「ゼロインフレ社会における貨幣発行指数の2.5倍も日銀券を発行してインフレを起こして（民衆に痛みをおしつけて）得られた当時の日本社会のGNPの成長指数はインフレゼロ社会におけるGNP成長指数の３分の１でしかなかったことがわかります。」
「つまりゼロインフレ社会の2.5倍の物価高を民衆に強要しておきながら、民衆の犠牲の上に潤ったこの国のGNPは、民衆の犠牲ゼロのゼロインフレ社会におけるGNP成長指数のたった３０％しか上昇しなかった」のです。
つまり当時の（国家独占資本主義？計画経済大企業社会主義？を実践していた）日本の金融監督庁の官僚お兄ちゃんは、「民衆が物価高を我慢して日本のGNPを成長させようと努力したのですが、その努力の成果はとるに足りないものだった。つまり官僚が努力すればするほど民衆は苦しみ、その成果としてのGNPはインフレゼロ社会に比べて屁のようなものだった」ということが結論されます。
社会現象のすべてがこのような線形モデルで表現できるとは限りませんが、現象間の因果関係がわかっている場合においてのみ、線形モデルと観測データを使えば、納税者に対して公僕（官僚）がどう振舞ったかが見えてくるようにおもいます。
自然エネルギーというＭＩＸＩで
市場経済が「財」を最も効率的に使う方法だ
という議論がなれていました。
この議論の理解を深めるためには、統計物理学の成立とおなじような自然現象の記述と本質の議論段階が認識される必要があると考えます。
「市場経済が「財」を最も効率的に使う方法だ 」という議題は大学と呼ばれる特殊な場所や霞が関などでは誰も疑っていない常識なのでしょうが、民衆から金を集めて再配分する現在の仕組みがどこでも民衆を苦しめている現状を理解するためには、常識を科学することが必要です。
科学するとは、金にまつわる人間行動を議論できるような問題として設定することから始めることができます。
「財」を最も効率的に使うという課題をどのように議論するか？
上の命題の主語は人間社会総体であるとすることに私は賛成ではありません。
人間は物々交換したり、または金に相当するものや信用などを利用して市場（いちば）で他人とものを交換する気があります。これを私は認めます。社会を濃ぷ性する個人として人間の本性に近いという意味では、これを我々は社会の基本法則として用いることができると思います。ではこの基本法則をどのようにして議論の原理とするかを誰かがまとめれば、理解が深まるのではないでしょうか（注）？
注：もしかしたら、カールマルクスらがすでにこのような議論をしているのかもしれません（佐藤優、国家論、２００８円、ＮＨＫブックス参照）。
「集団と個人の相互作用の議論は物理学者にとってはもっとも得意とする分野ではないか？」という気がしています。物理学者が現代社会の仕組みを勉強すればいいのではないでしょうか？
市場経済が「財」を最も効率的に使う方法だ
という議論がなれていました。
この議論の理解を深めるためには、統計物理学の成立とおなじような自然現象の記述と本質の議論段階が認識される必要があると考えます。
「市場経済が「財」を最も効率的に使う方法だ 」という議題は大学と呼ばれる特殊な場所や霞が関などでは誰も疑っていない常識なのでしょうが、民衆から金を集めて再配分する現在の仕組みがどこでも民衆を苦しめている現状を理解するためには、常識を科学することが必要です。
科学するとは、金にまつわる人間行動を議論できるような問題として設定することから始めることができます。
「財」を最も効率的に使うという課題をどのように議論するか？
上の命題の主語は人間社会総体であるとすることに私は賛成ではありません。
人間は物々交換したり、または金に相当するものや信用などを利用して市場（いちば）で他人とものを交換する気があります。これを私は認めます。社会を濃ぷ性する個人として人間の本性に近いという意味では、これを我々は社会の基本法則として用いることができると思います。ではこの基本法則をどのようにして議論の原理とするかを誰かがまとめれば、理解が深まるのではないでしょうか（注）？
注：もしかしたら、カールマルクスらがすでにこのような議論をしているのかもしれません（佐藤優、国家論、２００８円、ＮＨＫブックス参照）。
「集団と個人の相互作用の議論は物理学者にとってはもっとも得意とする分野ではないか？」という気がしています。物理学者が現代社会の仕組みを勉強すればいいのではないでしょうか？
2009年度応用数学ＩＩ前期中間試験問題
問題1.1960年から1966年までの日本経済システムを例にとり、ある年tの日本のＧＮＰ指数、日本銀行券の平均発行高、消費者物価指数、設備投資として銀行から企業側に貸し付けた金の指数をそれぞれ、日本経済システムの構成要素とよびg(t),n(t),b(t),i(t)と書くことにしよう。このとき、これらの構成要素データの変動を
（１） n(t)＝k１g＋k２b(t)
（２） i(t)＝k３n(t)
（３） b(t)＝k４t
（４） g(t)＝（１／k５）∫{100＋i(t) }dt
でモデル化することをかんがえよう。このとき、上の４つの方程式をまずラプラス変換しℒ[n]、 ℒ[i ]、 ℒ[b ]、 ℒ[g ] を表す式（１‘）（２’）（３‘）（４’）をかけ。
問題2.上で求めた（３’）と（４‘）とを入力としてℒ[N ]を出力とする日本経済のブロック図をかけ。
問題3.日本経済システムを構成要素間のパラメータは観測データをもちいてk１=0.40,k２＝2.10,k３＝1.10,k５＝7.40年と求められたとしよう。このときラプラス変換された世界では日本銀行券の平均発行高n(t)はT= =16.818年を使って
ℒ[n(t) ]＝（2.10k４＋5.405）（−16.818）[(1/s）{1/（1−s16.818）} ]
を得るが、この式の右辺第３項はℒ[f(t)]= 1/sとℒ[h(t)]＝ 1/（1−s16.818）を導入すると
ℒ[n(t) ]＝（2.10k４＋5.405）（−16.818）ℒ[f(t)] ℒ[h(t)]
と書かれる。しかし、(1/s）{1/（1−s16.818）} =A /s +B /(1−s16.818）と部分分数の形に変形して、A /s とB /(1−s16.818）に逆ラプラス変換を実行することにより、現実社会における日本銀行券の平均発行高n(t)を求めよ。
問題４：上の方法では現実世界における日本銀行券の平均発行高n(t)をきめる過程においてA /s とB /(1−s16.818）のいずれが原因を表し、いずれが結果を表すかはわからない。ところが、４年生の時に習ったラプラス変換の重畳積分の合成定理
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝ℒ[f(t)] ℒ[h(t)]
を利用して現実世界の関数n(t) = ℒ−１ℒ[n (t)]を求めたことを思い出そう。
ここで
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝∫f（τ）h（t−τ）ｄτ
で、積分の下限は0で上限はtである。すると数学的には
f（τ）＝(1/s）
h（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
とおいてもよいし、
f（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
h（τ）＝(1/s）
とおいても、どちらでもよい。なぜなら
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝ℒ[h(t)⋇g(t)]
が成り立つからである。
ここで我々が観測対象とした日本経済現象の数学模型を
f（τ）＝(1/s）
h（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
としなければなければならないことを示し、このように判断することは武谷三段階論の自然認識論において現象論的段階、実体論的段階、本質論的段階のいずれの段階に対応するかを議論せよ。
問題1.1960年から1966年までの日本経済システムを例にとり、ある年tの日本のＧＮＰ指数、日本銀行券の平均発行高、消費者物価指数、設備投資として銀行から企業側に貸し付けた金の指数をそれぞれ、日本経済システムの構成要素とよびg(t),n(t),b(t),i(t)と書くことにしよう。このとき、これらの構成要素データの変動を
（１） n(t)＝k１g＋k２b(t)
（２） i(t)＝k３n(t)
（３） b(t)＝k４t
（４） g(t)＝（１／k５）∫{100＋i(t) }dt
でモデル化することをかんがえよう。このとき、上の４つの方程式をまずラプラス変換しℒ[n]、 ℒ[i ]、 ℒ[b ]、 ℒ[g ] を表す式（１‘）（２’）（３‘）（４’）をかけ。
問題2.上で求めた（３’）と（４‘）とを入力としてℒ[N ]を出力とする日本経済のブロック図をかけ。
問題3.日本経済システムを構成要素間のパラメータは観測データをもちいてk１=0.40,k２＝2.10,k３＝1.10,k５＝7.40年と求められたとしよう。このときラプラス変換された世界では日本銀行券の平均発行高n(t)はT= =16.818年を使って
ℒ[n(t) ]＝（2.10k４＋5.405）（−16.818）[(1/s）{1/（1−s16.818）} ]
を得るが、この式の右辺第３項はℒ[f(t)]= 1/sとℒ[h(t)]＝ 1/（1−s16.818）を導入すると
ℒ[n(t) ]＝（2.10k４＋5.405）（−16.818）ℒ[f(t)] ℒ[h(t)]
と書かれる。しかし、(1/s）{1/（1−s16.818）} =A /s +B /(1−s16.818）と部分分数の形に変形して、A /s とB /(1−s16.818）に逆ラプラス変換を実行することにより、現実社会における日本銀行券の平均発行高n(t)を求めよ。
問題４：上の方法では現実世界における日本銀行券の平均発行高n(t)をきめる過程においてA /s とB /(1−s16.818）のいずれが原因を表し、いずれが結果を表すかはわからない。ところが、４年生の時に習ったラプラス変換の重畳積分の合成定理
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝ℒ[f(t)] ℒ[h(t)]
を利用して現実世界の関数n(t) = ℒ−１ℒ[n (t)]を求めたことを思い出そう。
ここで
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝∫f（τ）h（t−τ）ｄτ
で、積分の下限は0で上限はtである。すると数学的には
f（τ）＝(1/s）
h（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
とおいてもよいし、
f（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
h（τ）＝(1/s）
とおいても、どちらでもよい。なぜなら
ℒ[f(t)⋇h(t)]＝ℒ[h(t)⋇g(t)]
が成り立つからである。
ここで我々が観測対象とした日本経済現象の数学模型を
f（τ）＝(1/s）
h（t−τ）＝{1/（1−s16.818）}
としなければなければならないことを示し、このように判断することは武谷三段階論の自然認識論において現象論的段階、実体論的段階、本質論的段階のいずれの段階に対応するかを議論せよ。
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