魔方陣についてコミュの募集：５方陣の新製法？

５方陣は、PCで探すと大量に見つかる代わりに、手作業で作ろうとするとなかなか難しいものですね。

　以前に５方陣の作り方で示した４とおりのパターンの他に
もっと、別のパターンも作れるのではないかと思います。

　このバリエーションを増やしてみたいのですが？どなたか挑戦してみませんか？　新しいパターンを発見してください。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～既出パターン
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=2370334
ここに載っているパターンを、記号を書き直して
下記のように整理してみました

ＡＢＣＤＥ　には　1,2,3,4,5
ＦＧＨＩＪ　には　0,5,10,15,20 のいずれかを

割り当てることで、魔方陣が作れます。
　　（先にＡに３、Ｆに１０を割り当て済みのパターンでは、
　　　残り４種類の数字の配置が自由）

他にも、もっと、みつかるかと思うのですがいかがでしょう？

　【桂馬】＋【桂馬】
ＡＢＣＤＥ　　　ＦＧＨＩＪ
ＣＤＥＡＢ　　　ＩＪＦＧＨ
ＥＡＢＣＤ　＋　ＧＨＩＪＦ　【これは汎魔方陣になる
ＢＣＤＥＡ　　　ＪＦＧＨＩ　　パターンです】
ＤＥＡＢＣ　　　ＨＩＪＦＧ

　　【角】＋【角】
ＢＣＤＥ３　　　10ＧＨＩＪ
ＣＤＥ３Ｂ　　　Ｊ10ＧＨＩ
ＤＥ３ＢＣ　＋　ＩＪ10ＧＨ　【一方の対角方向の数字は
Ｅ３ＢＣＤ　　　ＨＩＪ10Ｇ　　　中央値３や１０に固定】
３ＢＣＤＥ　　　ＧＨＩＪ10

　【桂馬】＋【角】
ＡＢＣＤＥ　　　10ＧＨＩＪ
ＣＤＥＡＢ　　　Ｊ10ＧＨＩ
ＥＡＢＣＤ　＋　ＩＪ10ＧＨ　【対角方向１本を10に限定】
ＢＣＤＥＡ　　　ＨＩＪ10Ｇ
ＤＥＡＢＣ　　　ＧＨＩＪ10

　【角】＋【桂馬】
３ＢＣＤＥ　　　ＦＧＨＩＪ
Ｅ３ＢＣＤ　　　ＨＩＪＦＧ
ＤＥ３ＢＣ　＋　ＪＦＧＨＩ　【対角方向１本を３に限定】
ＣＤＥ３Ｂ　　　ＧＨＩＪＦ
ＢＣＤＥ３　　　ＩＪＦＧＨ

・・・追記：上記の内容を、Wikipediaにも転載しておきました。
　（無断転載でなく本人からの持ち込みであることを、
　　ここで言及しておきます。）

コメント(5)

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[1] mixiユーザー 04月16日 17:27

重ね合わせの二つの配置が左がA～Eで、右がE～Iと
Eが重複しているのは、どのような理由か教えてください。

また、３や１０にあらかじめ値を固定しているのは
どのような理由か教えてください。

[2] mixiユーザー 04月17日 02:03

あれれ。うっかりしてましたＥがダブったのは誤記です。なおしておきます。

３や１０に値を固定しているのは、その値で、対角方向を５箇所を全て充填している場合に、合計が他と等しくなるためには、１～５、０～２０での平均値になっている必要があるので、３や１０に固定ということです。

[3] mixiユーザー 04月17日 09:39

＞あまゐりさん
ありがとうございます。

ところで、今回のアプローチは、
直交する二つの５次のラテン方陣をみつける、
ということだと理解していますが、
この5次のラテン方陣の総数や、直交性について
現在どれくらいのことがわかっているのでしょうか。

[4] mixiユーザー 04月17日 11:54

>この5次のラテン方陣の総数や、直交性について

　　・・・・・すみません：私はなにも知りません。

>直交する二つの５次のラテン方陣をみつける

　これについては条件を追加すれば、　それ以外の解も
　　ありうるかとも思うのですが、わかりません。

・・・・例えば：（この例は失敗例なのですが．．．）

ＡＢＣＤＥに条件をつけて、
　　　C=3,D,Eの替わりに　ａ=6-A，ｂ＝6-Bとして、

　例えば、Aa3aA という配置も許すことにしたら自由度が
上がるのではないでしょうか？

　こんな具合です

５１３１５ →　A,a,3,a,A
１４４４２ →　a,B,B,B,b
４３３３２ →　B,3,3,3,b
４２２２５ →　B,b,b,b,A
１５３５１ →　a,A,3,A,a

上の例では
　１行目、A＋a＋3＋a＋A＝１５は　言えるが
　２行目　a＋B＋B＋B＋b＝１５になるかは不明
つまりは、A,B,a,b 間での任意の数字の
入れ替えもできそうもなく

また、これにみあう0,5,10,15,20の
　組み合わせもみつからなかった例で失敗作ですが...

４方陣ならば a,b,　f,gを　A,B,　F,G　との補数の関係
　　(a=5-A,b=5-B、f=12-F,g=12-G)として、

　　{1,2,3,4}からなる方陣を{a,b,A,B}で
　　{0,4,8,12}からなる方陣を{f,g,F,G}で

次のパターンで、（ラテン方陣でなくとも）魔方陣を作れます

AaAa　FGfg
BbBb＋fgFG
aAaA　FGfg
bBbB　fgFG

・・・・・以上、ラテン方陣でない方陣をつかっても
　魔方陣を作れるパターンというのも、ありえるのでは？
　と思う次第です。

　何も条件がないと、１列の和を定和にするにはラテン方陣
　しかないということになりますが、他に、補数関係とか
　条件を追加していけば自由度は狭くなるにせよ、
　作りやすくなるのかと思う次第です。

[5] mixiユーザー 04月21日 01:51

◆新発見!!!◆・・次のパターンがみつかりました。\(^o^)／

【桂馬＋桂馬の崩しパターン】

ＡＢＤＣＥ　　　ＦＨＧＩＪ
ＥＤＣＡＢ　　　ＩＪＨＧＦ
ＣＥＢＤＡ　＋　ＪＧＩＦＨ
ＢＣＡＥＤ　　　ＧＦＪＨＩ　　
ＤＡＥＢＣ　　　ＨＩＦＪＧ

・・・・これは下記引用の、対角線上以外の部分１６箇所を、それぞれ、入れ替えた形としてとらえることができます。

＞　【これは汎魔方陣になるパターンです】
＞
＞　　【桂馬】＋【桂馬】
＞　ＡＢＣＤＥ　　　ＦＧＨＩＪ
＞　ＣＤＥＡＢ　　　ＩＪＦＧＨ
＞　ＥＡＢＣＤ　＋　ＧＨＩＪＦ
＞　ＢＣＤＥＡ　　　ＪＦＧＨＩ　　
＞　ＤＥＡＢＣ　　　ＨＩＪＦＧ

どうやら、縦横＋対角線上について、５通りの数字が１個ずつすべて含まれるパターンとしては、この２種類以外にはなさそうです。　

なぜならば対角線上に、各数字が１個ずつ収まるようにすることで
中心以外の数字の配置としては、１個は隅に、もう１つは隅と中心との間の位置にくるように２つの対角線上に★が配置されます。（ここでは回転・鏡像は区別しません）

★□□□□　　★□□□□　★の２箇所が各対角位置に１箇所
□□□★□　　□□□★□　ずつとして配置が決まると
□●□□□　　□□□□●　　●の配置は、左の２種類だけ
□□□□●　　□□●□□　　
□□●□□　　□●□□□

この場合、残りの３個の数字●を対角線上以外で、縦横各行列に１個ずつ配置するパターンとしては、上の２種類だけということになります。
　鏡像どうしが、うまいぐあいに丁度、直交します。

・・・・以上、対角線上も含めて、縦横斜めに全て数字が１種類ずつ配置されるパターンは、この２種類だけと判りました。

他のパターンの発見には、例えば対角線上の数値を固定にするとか、補数関係を利用するとか、他に条件を追加する必要がありそうです。

さて？上で見つかったパターンを再利用してさらに、別の派生パターンはつくれないでしょうか？

・・・・ただ、どうも【角】のパターンと　上のパターン（”崩し桂馬パターン”とでもいいましょうか？）とは、組み合わせることができないですねぇ。

・・・・皆様の御検討を祈ります。　ここに投稿あらんことを。

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