高校数学の裏技コミュのJensenの不等式について

Jensenの不等式
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ある区間において
関数f(x)が上に凸な関数の時
p1,p2,…,pnをp1+p2+…+pn=1を満たす正の実数とする。
また、x1,x2,…xnを区間内の実数とする。その時
Σpi*f(xi)≦f(Σpi*xi)
が成り立つ（Σはiを1からnまでの値の総和とする）
（なお、等号成立はx1=x2=…=xnの時で、f(x)が下に凸の時は不等号の向きが逆になる）
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というものだったような気がしますが……
この証明は帰納法を使うのが一般的ですが、これを
以下のように証明しても良いですよね？
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X=Σpi*xiとする
Xは区間に含まれる。
区間内でfは上に凸だからfのx=Xでの接線をg(x)=ax+bと置くと
区間内で
f(x)≦g(x) (等号成立はx=X)
よって
Σpi*f(xi)≦Σg(xi)
Σg(xi)=a(Σpi*xi)+b=g(X)=f(X)
よって証明できた。
***
ほかにもJensenの不等式の使い道（相加相乗とか……）
知っていたら教えて下さい。

コメント(4)

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[2] mixiユーザー 03月09日 10:42

>quad　さん
　そうなのです。
jensenを使うためには証明が、必要なのですよね。
ただ、数学的帰納法が長いので、いろいろと考えた結果がトピを立てたときの証明です。
よくネットで調べたら、「青空学園数学科」というＨＰでもほぼ同様の証明が紹介されていました。

私が思うに、これを各場合に応用すればjensenが入試の解答用紙の余白を埋め尽くすことなく、証明できると思うのです。

例えば
相加相乗平均の証明。
f(x)=logx とする。（x>0）
fは常に上に凸だから、x=t=(x1+x2+…+xn）/n>0におけるfの接線をg(x)=ax+bとおくと
f(x)≦g(x) (等号成立はx=tのみ）
よってこの式にx=x1,x2,x3…xnを代入して、それぞれの両辺を足して、nで割れば
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)=lon(x1*x2*…*xn)
(g(x1)+g(x2)+…+g(xn))/n=g(t)=log(x1+x2+…+xn)/n
だから
lon(x1*x2*…*xn)~1/n≦log(x1+x2+…+xn)/n
ゆえに
(x1*x2*…*xn)~1/n≦(x1+x2+…+xn)/n
(等号成立はx1=x2=…=xn)

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あと、質問なのですが・・・
チェビシェフの和の不等式ってjensenで示せるのでしょうか……

[4] mixiユーザー 03月09日 17:08

なるほど
チェビシェフへの応用は難しそうですね

ありがとうございました

最近jensenにいろいろな関数を代入して、暇つぶししています。
いろいろな公式を作れますね。

区分積分をjensenにしてみると以外とｱﾀﾘﾏｴな式になり、期待はずれでしたが…

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