高校数学の裏技コミュのトレミーの定理

円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＤ・ＢＣ＋ＡＢ・ＤＣ
が成り立つという幾何学の定理。
トレミーとは古代ギリシャの天文学者プトレマイオスのことである。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

コメント(12)

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[3] mixiユーザー 12月24日 21:52

その日記、ここに書き込んでもらえませんかね…。

[5] mixiユーザー 12月24日 23:24

ありがとうございます。
携帯のはパソコンで見れないので、
くみちゅさんの日記の証明をここに貼り付けてもいいですか？

[7] mixiユーザー 12月25日 22:14

ありがとうございます。
それでは、さっそく「くみちゅ」さんの証明を紹介させていただきます☆

[8] mixiユーザー 12月25日 22:18

※「くみちゅ」さんの、証明です。
引用させていただけるそうですので、ここにトレミーの定理の中学範囲の証明を載せさせていただきます。m(__)m

トレミーの定理の証明

四角形ABCDの対角線の交点をEとし、
∠ABE=∠FBCとなる点Fをとり、線分BFの補助線を書く。

（図１参照）

△ABFと△DBCにおいて
∠FAB=∠CDB(円周角)
∠ABE=∠FBCから
∠ABE+∠EBF=∠FBC+∠EBFより
∠ABF=∠DBC
よって
△ABF∽△DBC
したがって
AF:AB=DC:DBより
AF*DB=AB*DC…[1]

（図２参照）

△ABDと△FBCにおいて
∠BDA=∠BCF(円周角)
∠ABD=∠FBC
よって△ABD∽△FBC
したがって
CF:BC=DA:BDより
CF*BD=BC*DA…[2]

（図３参照）

[1]+[2]より
AF*BD+CF*BD=AB*CD+BC*AD
(AF+CF)*BD=AB*CD+BC*AD
AF+CF=ACから
AB*CD+BC*AD=AC*BD

よって
トレミーの定理は成り立つ笑

中学校の知識だけで、トレミーの定理ゎ証明できました

（引用ここまで。）
感謝いたします。

[9] mixiユーザー 12月26日 10:08

くみちゅさんの日記をPCからも見えるようにしてみました。
http://mixi.jp/view_diary.pl?&id=1022555591&owner_id=18339803

ムダだったかな・・・

[10] mixiユーザー 12月27日 23:03

トレミーの定理の証明方法。

・円周角の定理を使う方法
（補助線を引き円周角の定理）
・方ベキの定理を使う方法
（強引に計算）
・三角関数を使う方法
（弦をsinで表す）
・複素数を使う方法
（(δ－α)(β－γ)＝(β－α)(δ－γ)＋（α－γ)(δ－β)という等式を使う）
・余弦定理および内接四角形の性質を使う
（日本語のwikipedia）
・複比を使う方法
（英語のwikipedia）
・反転を使う方法
（一つの頂点を中心に反転）
・グラム行列を使う方法
（これはあまり知られていない）

があるようです。

他の方法がありましたらご紹介ください。

[11] mixiユーザー 01月01日 00:32

イガチンさん
グラム行列を初めて聞き、調べてみてかなり勉強になりました。
面白くて、とても大切なものなんですね。ありがとうございます。

他の方もどうぞ。
http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata/publish/040804-hirata.pdf

[12] mixiユーザー 03月04日 12:07

　私は、トレミーの定理の証明をするのに、明治大(？)で出題されていたので、余弦定理を、２回使う方法を、生徒にさせています。

　よい計算練習になります。
　
例　四角形ＡＢＣＤが、円に内接している。それぞれの、辺をａ，ｂ，ｃ，ｄとして、対角線をｘ，ｙとする。
　　（１）ｘをａ，ｂ，ｃ，ｄで表せ。
　　（２）ｘｙをａ，ｂ，ｃ，ｄで表せ。

　実際の入試も、上記の形式でした。

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