高校数学の裏技コミュの曲率円

例えば，

『y≧2x^2の領域を半径1/2の円が動くとき，円の動きうる領域を図示せよ』

という問題があった場合，答えはy≧2x^2とはなりません．半径1/2の円では(√3/4,3/8)と(-√3/4,3/8)で引っかかって，原点Oには近づけません．

このように，円と曲線の接点は単純には求まりません．そこで，登場するのが曲率円です．

■曲率円の考え方
　微分のときと似た考えですが，曲線のある点における曲がり具合は円弧に例えることができます．つまり，部分的に円に近似できるわけです．近似した円の半径が小さいほど，曲がり具合もきつくなります．このような近似した円を曲率円といいます．

　つまり，ある点における曲率円の半径がrであれば，rより大きい円はここで曲線の内側(カーブの内側)に内接することはできません．

■曲率円の半径
　曲線y=f(x)上の点A(a,f(a))における曲率円の半径r(a)は
　r(a)=|{(1+f'(a)^2)^(3/2)}/f''(a)|
となります．

【求め方】
A(a,f(a))，B(b,f(b))における法線の交点をPとし，bがaに限りなく近づくときのPが近づく点をQとすると，Qが曲率円の中心になり，AQが曲率円の半径になります．

■有名曲線の曲率半径
　曲率円の半径r(a)が小さくなるほどその点は急カーブです．ですからr(a)を最小にするaを求めてやれば，その点が曲線の最も急カーブなところになります．これを題材にした入試問題はよくあります．

●放物線y=x^2：
頂点が最も急カーブで，曲率半径1/2
(大阪市大)

●自然対数曲線y=logx：
(√2/2,-(1/2)log2)が最も急カーブで，曲率半径27/4
(横浜国大)

●三角関数y=coskx：
(nπ/k,cosnπ)が最も急カーブで，曲率半径1/k^2
(東大)