高校数学の裏技コミュの裏技使用議論部屋

　いろんなトピで毎回のように「この裏技は使えるのか？」「本番では減点されるのか？」と議論が出てるのでいっそのことまとめちゃえ、ってことで。

　裏技に関する議論は各トピックではなくこちらでやりませんか？

コメント(33)

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それでは先陣をきりまして…

漸化式を解く際に必要となる「特性方程式」は，自分が大学受験をした10年近く前に習ったときの記憶としては
「特性方程式という言葉を解答に書いてはならない」
ということなのですが，今も相変わらずなのでしょうか？

>>001
結局ただの同値変形ですから、書く必要もないかと。ちなみに二年前に高校を卒業しましたが、高校では特性方程式という言葉は習いませんでした。予備校では聞きましたが。

特性方程式は一応は教科書範囲外となってますから，計算用紙でやることだと私は認識しています．

というより，3項間漸化式を誘導なしで解かすということは国公立ではまずさせません(東大・京大ですら例外ではありません)．たまに東京医科歯科大学などの単科大や一部の私学が出題することはありますが，ほとんどの国公立大では誘導がついていて，特性方程式を知らなくても誘導にのれば解決します．

　特性方程式がここまで広まったのは，誘導なしで3項間漸化式を解かせる問題がズラリと並んだ問題集が数多くあるからではないかと私は思ってます．

[4] mixiユーザー 11月26日 16:32

なるほどEARLさんの意見は確かにそうかもしれませんね。

納得です。

[6] mixiユーザー 11月28日 21:02

>微分方程式などが入っています

これは高校範囲の微分方程式に限ったことではないですか？

または、その問題文に書いてある微分方程式の解法を聞くような問題ではなく、意味さえわかれば解答に影響しない程度なのでは？

大学範囲の微分方程式の問題を大学入試で出すようなことは無いのではないかと思いますが、どうなのでしょう？

大雑把に行ってしまえば、方程式の中に微分が入っていれば微分方程式ですよね？それが高校範囲で解くことが可能な問題であれば問題ないと思います。

[7] mixiユーザー 11月28日 21:05

国公立大学では、文科省で認定した範囲の内容でないとだめ。
私立大学では、その私立大学の方針による。

[8] mixiユーザー 11月28日 22:54

京大の出題はおかしくはありません．文科省の指定にちゃんと従っています．

数年前の文科省によるカリキュラム改訂により入試の出題基準に変更がありました．教科書範囲を越えた発展的内容であっても，高校レベルで理解可能な範囲であれば出題しても構わないことになりました(京大は固有分野と言ってますが)．

　具体的には，
●微分方程式
●関数方程式
●一次変換
●二重根号
●3つ以上の集合論
●(文系での)行列出題
●(文系での)高次多項式の微積
などです．

[9] mixiユーザー 11月28日 23:00

ちなみに大学範囲の微分方程式は出題されています(京大でも1度出題があったはず)．

といってもせいぜい簡単な変数分離系や同次系程度です(f(x)=f'(x)とか)．旧課程のときのような本格的な微分方程式は出題されません．

これらの固有分野に対応できるように，数研出版のチャート式も微分方程式と一次変換を掲載しています．

[11] mixiユーザー 01月05日 02:05

私の先輩講師が元採点官の方からお話を聞いてきたそうです．以下コピペ．(Ｑ４までは裏技以外の内容でしたので省きます)．

====================
◆Ｑ５
　高校範囲外の知識を用いた答案の採点基準は大学ごとに違いますか？

◇Ａ５
　これについては全大学統一基準が決まっているわけではありません．ですが，大学入試懇親会や各大学の入試委員会を通じて大学どうしで話し合うこともあり，おおまかな見解の一致はあります．少なくとも国立の総合大学はどこも同じ見解でしょう．

◆Ｑ６
　そのおおまかな見解について教えていただけますか？

◇Ａ６
　基本的には文科省指定のガイドラインに含まれている数学知識を用いて答案作成をしていただくことになります．しかしながら，浪人生など受験生によってはカリキュラムの異なる年度でのガイドラインで履修した方も大勢おられますから，旧カリキュラムに含まれていた数学知識を用いた場合は採点官側も配慮します(←満点or減点の明言なし)．もっとも，旧カリキュラムの知識があれば有利になるような問題はあまり出しませんが．
　旧カリキュラムにもない知識を用いた場合は，たとえ数学的に正しくても受験生の公平性を優先し，厳しく採点します．

◆Ｑ７
　厳しくとはどれくらいでしょうか．

◇Ａ７
　大学ごとに異なりますが，かなりの大学で大幅減点しています．使用した時点でそれ以降の部分点は0点としている大学もあります．

◆Ｑ８
　高校範囲外の数学知識を答案内で証明して使用した場合はどうなりますか？

◇Ａ８
　配慮して採点します(満点or減点についての明言なし)．

[13] mixiユーザー 02月14日 10:18

＞＞Desilusão さん

＞一般にlimと∫の交換には定理があるそうですが、例えばメルカトル級数やライプニッツ級数に類するものが出題された場合、limと∫の順序は気にせず解答を進めていけばよろしいのでしょうか？

ダメです。

lim と∫の交換ができるかできないか、の議論だけでテキスト数ページもかけたりするくらいですからね。大学入試の採点者は数学の専門家たちですから、lim と∫の順序を勝手に逆にしたらそれこそ採点者の逆鱗に触れますよ＾＾
ちなみに、この「定理」は「limが『一様収束』すれば∫と交換可能」というものですが、「一様収束」を論ずる際にεーδ論法が必要になるので高校範囲ではこれを議論できません。

[15] mixiユーザー 02月14日 12:22

＞＞Desilusão さん

３項間漸化式の解 a_n が

α≠βのときa_n=uα^(n-1)+vβ^(n－1)
α＝βのときa_n=(u+vn)α^(n-1)
とおける

と書いてしまうと大幅減点でしょう。ただし、一般項の計算を計算用紙などで行い、それを答案には書かず、

(1)「この a_n (n=1,2,....)が元の漸化式を満たすこと」
(2)「a_1,a_2を定めれば元の漸化式から帰納的定義によって、
　　　順次{a_n}の各項が定まるので数列{a_n}はただ一つに定まる」

この２点を答案にコメントすれば、論理的な不備はなく減点される要素は全くないと思われます。具体的な答案例は次に書きます。

[16] mixiユーザー 02月14日 13:04

＞＞Desilusão さん

先ほどの漸化式の答案例です。

(問題) a_1＝1, a_2＝1, a_{n+2}＝5a_{n+1}－6a_n ……(*) (n＝1,2,3,...)
　　　で定まる数列{a_n}の一般項を求めよ。

(解答)(唐突だが) a_n＝2^n－3^(n－1) ……(☆)(n=1,2,...)とすると、

　　　a_1＝2－1＝1, a_2＝4－3＝1,
　　　((*)の左辺)＝2^(n＋2)－3^(n＋1)
　　　((*)の右辺)＝5{2^(n＋1)－3^n}－6{2^n－3^(n-1)}
　　　　　　　　＝(10－6)2^n－(15－6)3^(n－1)
　　　　　　　　＝2^(n＋2)－3^(n＋1)

　　　より、(☆)は元の漸化式を満たす。
　　　また、a_1,a_2の値から(*)によって順次帰納的にa_3,a_4,...と各項が
　　　定まっていき、数列{a_n}はただ一つに定まるので、求める一般項は
　　　(☆)で与えられる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//

といった具合になるでしょう。なぜ(☆)を『思いついたか』ということは答案に書く必要はありません。これは答案中で因数分解をするときに『たすきがけ』をした跡を残さなくてもよいことや、特性方程式の説明を書かなくてもよいのと同じです。

数学の答案で説明しなければならないのは、「ある事実や等式を書く際に『それの根拠はどこからくるのか』ということ(たとえば(1)式を(2)式に代入したから、とか、問題文の条件により、とか…)」であって『どのようにして式変形を思いついたか』は不要ですからね。

[22] mixiユーザー 08月05日 00:19

空間ベクトルから体積求めるならそれが座標を伴う位置ベクトル(？)じゃなきゃならんよ
でもそんな問題、センターだと2008年以前だと1,2問しか無いよ

[23] mixiユーザー 08月05日 02:17

三次元空間で一次独立な3個のベクトルa,b,cがあると、この3つのベクトルによって定まる平行六面体の体積は3次正方行列(a b c)の行列式の絶対値に等しいという事実がありますが、高校数学で使う機会があるかどうかは…

あとは整数問題なら合同式を知っていると2次試験で使えます

[24] mixiユーザー 08月05日 02:26

追記ですが、例えば確率での裏技というかあまり使う場面が少ない技として数Bの「和の期待値の公式」というものがあります

といっても東大は範囲外(にもかかわらず2000年の後期でこれを使うと非常に楽になる問題が出てる)だし知らなくても不便しませんが(^^;

[25] mixiユーザー 08月05日 02:37

連投申し訳ありませんが、裏技というか、昔(1993年)に東工大で数学的帰納法を用いる難しい証明問題が出て、実際平均点がほぼ0点だったらしいんですが、大学として平均点0点とは報告できないらしく、もし答案に
「nについての数学的帰納法で証明する」
と書いた答案に何と30点中10点も与えたそうです

もし分からない問題にあたっても、数学的帰納法で証明するとか、ケーリーハミルトンの定理より～とだけでも書けば部分点がもらえるってのもまんざらでもないかもしれませんよ(笑)

[26] mixiユーザー 08月05日 19:58

２５

ｎを自然数、Ｐ（ｘ）をｎ次の多項式とする。Ｐ（０）、Ｐ（１）、・・・・・・・Ｐ（ｎ）が整数ならば、すべての整数ｋに対し、Ｐ（ｋ）は整数であることを証明せよ。

という問題でしたね。

[27] mixiユーザー 08月05日 23:34

このトピのような裏技たちは…
浪人時代に通った超大手某κ予備校では、授業中の正式な解説では一切取り扱いませんでした
先生への拘束・規制(？？)が強いからかも知れません
個別に質問に行けば解説はしてくれなくとも、裏技を使った解法の必要十分性だけは吟味して頂けましたよ

[28] mixiユーザー 08月08日 00:42

現役文系高校生ですが、使えるなら何をつかってもいいという立場です。
理系の微分だって合同式だって互除法だって。

合同式は入試に出たし……

[30] mixiユーザー 12月17日 15:08

はじめまして。僕の好きな裏技です。