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ラグランジェの補間公式

mixiユーザー 2007年11月07日 19:17

ラグランジェの補間公式

■1．二次関数
二次関数f(x)が
　f(a)=A，f(b)=B，f(c)=C
を満たすとき，
　g[1](x)=A{(x-b)(x-c)}/{(a-b)(a-c)}
　g[2](x)=B{(x-c)(x-a)}/{(b-c)(b-a)}
　g[3](x)=C{(x-a)(x-b)}/{(c-a)(c-b)}
とおくと
　f(x)=g[1](x)+g[2](x)+g[3](x)
となる．すなわち，
f(x)=A{(x-b)(x-c)}/{(a-b)(a-c)}+B{(x-c)(x-a)}/{(b-c)(b-a)}+C{(x-a)(x-b)}/{(c-a)(c-b)}
と表される．

■2．拡張
f[n](x)をn次関数として，
　f[n](a[k])=A[k]
　(k=1,2,…,n)
が成り立つとき，h[k](x)を
　(x-a[1])(x-a[2])…(x-a[n])
から(x-a[k])を抜いたものとしてg[k](x)を
　g[k](x)=A[k]h[k](x)/h[k](a[k])
と定める．このとき
　f[n](x)=Σ[k=1,n]g[k](x)
となる．

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 11月09日 09:19

２次関数のとき、補完公式の他次のやり方もします。
f(x)＝p(x-a)(x-b)+(B-A)/(b-a)･(x-a)+A
［これは(a，A)，(b，B)を通る］
に(c，C)を代入してpを決定します。
補完公式に比べて分数が出にくいです。

[2] mixiユーザー 10月23日 13:57

ラグランジュの補間公式を使って部分分数分解をしたいのですが、イマイチ使い方が分かりません。
誰か分かる方いらっしゃいましたら教えて下さい。

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