高校数学の裏技コミュの双曲線関数その１

■1．双曲線の媒介変数表示
双曲線
　x^2/a^2-y^2/b^2=1
において，媒介変数表示を
　x=a/cosθ，y=btanθ
とする教科書が多いが，むしろ
　x=a{e^θ+e^(-θ)}/2，y=b{e^θ-e^(-θ)}/2
とおいた方がうまくいくことが多々あるので(特に微積との融合問題)，この媒介変数表示は覚えておくことをお勧めします．

　このとき，楕円の媒介変数表示と対応させて，
　coshθ={e^θ+e^(-θ)}/2
　sinhθ={e^θ-e^(-θ)}/2
　tanhθ=sinhθ/coshθ={e^θ-e^(-θ)}/{e^θ+e^(-θ)}
と大学では表記します．このcosh，sinh，tanhは『双曲線関数』といい，三角関数に極めて似た性質を持っています．

■2．双曲線関数の性質
【2-1】基本関係式
1≦coshθ
-∞＜sinhθ＜∞
-1＜tanhθ＜1
(coshθ)^2-(sinhθ)^2=1
1-(tanhθ)^2=1/(coshθ)^2
cosh(-θ)=coshθ
sinh(-θ)=-sinhθ
tanh(-θ)=-tanhθ

【2-2】加法定理
cosh(α+β)=coshαcoshβ+sinhαsinhβ
sinh(α+β)=sinhαcoshβ+coshαsinhβ
tanh(α+β)=(tanhα+tanhβ)/(1+tanhαtanhβ)

【2-3】倍角公式
cosh2θ=(coshθ)^2+(sinhθ)^2=1+2(sinhθ)^2=2(coshθ)^2-1
sinh2θ=2coshθsinhθ
tanh2θ=2tanhθ/{1+(tanhθ)^2}

【2-4】半角公式
{cosh(θ/2)}^2=(1+cosh2θ)/2
{sinh(θ/2)}^2=(-1+cosh2θ)/2

【2-5】チェビシェフ
f(x)をn次のチェビシェフ多項式(別トピック参照)とすると，f(coshθ)=coshnθ

【2-6】合成
acoshθ+bsinhθ=√(a^2-b^2)*cosh{θ+log{(a+b)/√(a^2-b^2)}}

その他，和積公式なども成り立ちます．