高校数学の裏技コミュの極限(ロピタル以外)

『上に有界な増加数列or関数(連続)は収束値をもつ』という定理は教科書範囲外の事柄ですが，感覚的に明らかということで，ロピタルの定理とは違ってかなり大っぴらに使用されているようです．

■1．数列極限
ある数列{a[n]}が

(1) 増加数列：a[n]≦a[n+1]
(2) 上に有界：任意のnについてa[n]≦tを満たす実数tが存在

の2条件(1)(2)を満たすならば，n→∞のときa[n]は収束する．つまり
　lim[n→∞]a[n]=α
というようにαをおいてよい．

非常に強力で，αとおければあとは漸化式に代入して方程式を解けばいいだけです．解けない漸化式を与えられたときの極限を求めるときにも威力を発揮します．

※逆に(1)減少数列，(2)下に有界，でも同じです．

■2．関数の極限
ある連続な関数f(x)が

(1) 増加関数：x≦y⇔f(x)≦f(y)もしくはf'(x)≧0
(2) 上に有界：任意のxについてf(x)≦tを満たす実数tが存在

の2条件(1)(2)を満たすならば，x→∞のときf(x)は収束する．つまり
　lim[n→∞]f(x)=α
というようにαをおいてよい．

■3．数列和(これは実際使用不可)
lim a[n]=α，lim b[n]=β
ならば
lim {(Σa[k])/Σb[k]}=α/β
が成り立つ．

■4．合成関数極限
f(x)が連続関数であれば
　limf(g(x))=f(limg(x))
　(x→∞)
が成り立つ(連続性の確認が必要)．

■5．級数の収束判定法 (実際使用不可)
無限級数limΣa[k]が収束するのは
　1＞ρ=lim[n→∞]|a[n+1]/a[n]|
のときです．これを比判定法といい，ρを収束半径といいます．