高校数学の裏技コミュのはみ出し削り論法

某所からの拾い物です。

はみだしけずり論法でこの問題を解いてみます。

添付図を見つつ考えて下さい。図中青線はy=e^(-x)です。また、P(0,3)とおきます。
図中赤線はl:y=ax+3のグラフで、図のようにy=e^(-x)との交点をA,Bとし、PA=PBが成り立つとします。
図中緑線はl':y=a'x+3のグラフで、図のようにy=e^(-x)との交点をC,Dとし、a'＜aが成り立つとします。
Aを通るy軸に平行な直線とl'の交点をE,Bを通るy軸に平行な直線とl'の交点をFとします。すると
(y=e^(-x)とl'の囲む部分の面積)-(y=e^(-x)とlの囲む部分の面積)
=(PA,PC,y=e^(-x)の囲む部分の面積)-(PB,PD,y=e^(-x)の囲む部分の面積)
＞△PAE-△PBF
=0
となります。すなわちa'＜aであれば
(y=e^(-x)とl'の囲む部分の面積)＞(y=e^(-x)とlの囲む部分の面積)
が成り立つということです。同様にすればa'＞aのときも
(y=e^(-x)とl'の囲む部分の面積)＞(y=e^(-x)とlの囲む部分の面積)
が示せるので、結局lにおけるaが求めるべきaということになります。
この先は単なる計算問題なので省略します。

”三辺和が一定の三角形で面積最大のものは正三角形である” ことを示せ。

アレクシの初等幾何は美しいって本にのってそうな 。

ヘロンや相加相乗などは使わず、 はみ出し削り論法で解いてみよう。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/1-100

14 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 07:25
アレクシの新定理なら昨年度の大数に載ってたよ。
はみだし削り論法を一般化したらしい。
内容はわからんかった、つーか読んでない。
積分の不等式問題の９割が解けるとか書いてあったような。
ウロ覚えスマソ。

はみ出し削り論法ってのは大数が産み出したと大数が言ってるけど
誰でも考えつきそうなものだ。
でもそれを一般化するのはどうすんのかわからん。


http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071121303/

アレクシの定理その３
1 ：１３２人目の素数さん：03/12/11 14:41
前スレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1012637724/
前々スレ
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/992257128/

アレクシが100倍よくわかるページ
http://www.tokyo-s.jp/authors/a-toda/index.html

アレクシの定理のステートメント
http://www.rakuten.co.jp/tokyo-shuppan/forum/b00733.html

曲線y=e^(-x)と直線y=ax+3(a＜0)とが囲む図形の面積を最小にするaの値を求めよ。

すでに出ている回答は、いわゆる「はみ出し削り論法」による見事なもので、
感心しました。（０、３）を中心にして対称な曲線を持ってくる、という閃きがすごい。
私は閃かなかったので、地道にやってみました。
　ところで、今の高校生は、極座標表示による積分で面積を出す方法、というのを習って
いるのでしょうか。これを知らないと、ちょっと難しい問題かと思います。

【回答】
　直線y=ax+3(a＜0)を、y=tanθｘ＋３（π/2＜θ＜π）と表し、
この直線と曲線y=e^(-x)との交点をそれぞれ、
Ａ（ｒcosθ、ｒsinθ＋３)、
Ｂ（ｒcos（θ＋π）、ｒsin（θ＋π）＋３)
とおく。ここで、ｒはθの関数ｒ（θ）であり、ｒ＞０とする。θの範囲より、
Ａは第二象限、Ｂは第四象限の点となる。
(図を描くと分かりやすいのですが、私には
パソコン上で図が描けませんm(__)m。
これはつまり、点(０、３)を中心とした極座標表示です。)

この時、求める面積をＳ＝Ｓ（θ）とすると、
２Ｓ（θ）＝∫ｒ（φ）^2ｄφ
（積分区間がθから（θ＋π）までの定積分）と書ける、、、★

(これも図があると分かりやすいのですが、
ＡからＢまで左回りに１８０度回って積分するわけです。）

これより
２ｄＳ/ｄθ＝ｒ（θ＋π）^2−ｒ（θ）^2
　　　　 ＝{ｒ（θ＋π）−ｒ（θ）}{ｒ（θ＋π）＋ｒ（θ）}となる

　ここで、Ａ、Ｂのｙ座標を考えれば
Ａ、Ｂはy=e^(-x)上の点でもあることより、

r(θ)sinθ＋３＝e^(-ｒcosθ)　
r(θ)＝{e^(-ｒcosθ)−３ }/sinθ

ｒ（θ＋π）・sin(θ＋π)＋３＝e^(-ｒcos(θ＋π))
ｒ（θ＋π）＝{e^(ｒcosθ)−３ }/−sinθ

よって、e^(-ｒcosθ)＝Ｙとおけば

２ｄＳ/ｄθ＝−（Ｙ＋1/Y−６)(Ｙ−1/Y)/(sinθ)^2
＝−(Ｙ^2−６Ｙ＋１）（Y^2−1)／Y^4・(sinθ)^2
　　　　 ＝−{Ｙ−（３＋２√２）}{Ｙ−（３−２√２）}（Y^2−1)／Y^4・(sinθ)^2
ここで、Ｙは交点Ａのｙ座標であり
π/2＜θ＜πの時、Ｙ＞３　（図を考えれば明らか(^_^;））
またこの時、sinθ＞０である。

よって、ｄＳ/ｄθは
Ｙ＜（３＋２√２）で正
Ｙ＝（３＋２√２）で０　　
Ｙ＞（３＋２√２）で負
となる。

　また図より、θがπ/2＜θ＜πで増加するとき、Ｙは単調に減少する。
（厳密に言えば、ここも証明が要りそうです。）

　だからｄＳ/ｄθは、
αを、e^(-ｒcosα)＝３＋２√２を満たす値として
θ＜αで負、θ＝αで０、θ＞αで正となる。

（増減表を書きたいのですが、これもパソコン上では描けませんm(__)m）
　これらより、Ｓ(θ)はθ＝αで最小値をとる。
この時、ａ＝tanα＝ｒsinα/ｒcosα
　　　　　　　 ＝{e^(-ｒcosα)−３}/ｒcosα

そして、e^(-ｒcosα)＝３＋２√２より
　 ｒcosα＝log(1/( ３＋２√２))＝log(３−２√２)

よって求めるaの値は2√2／log(３−２√２)

(終わり)


★２Ｓ（θ）＝∫ｒ（φ）^2ｄφ
（積分区間がθから（θ＋π）までの定積分）と書ける

これは、極座標形式での面積計算の基本となる式です。
ｘｙ平面において、(ｘ、ｙ）＝（ｒcosθ、ｒsinθ）となるように極座標を取るとき、

方程式：ｒ＝ｒ（θ）で表される曲線のうち、
α≦θ≦β（０≦α＜β＜２πとします）
に対応する部分と、

座標の原点Ｏを始点として、θ方向に伸びる＝つまり、Ｏから無限遠点に向かう方向が、
エックス軸の正方向から左回りにみて角θをなす＝
２本の半直線
Ｌ１：θ＝α
Ｌ２：θ＝β

で囲まれる図形の面積をＳとすると

２Ｓ（θ）＝∫ｒ（θ）^2ｄθ
（積分区間がαからβまでの定積分）＝積分

となります。これは、２本の半直線

Ｌ（φ）：θ＝φ
と
Ｌ（φ＋ｄφ）：θ＝φ＋ｄφ

及び方程式：ｒ＝ｒ（θ）で表される曲線のうち、
φ≦θ≦φ＋ｄφに対応する部分とで囲まれた部分の面積を、
半径ｒ（φ）、中心角ｄφの扇形の面積で近似し、
和をとっていることに相当します。

http://whs-math.net/math/sec3130.html