高校数学の裏技コミュの多項式

以下では関数は全て多項式とします．

■1．虚数代入
f(x)をg(x)で割った商がQ(x)，余りがR(x)であるとき，
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)
もしg(x)=0の解αが虚数であっても，xに代入してもかまわない．
f(α)=g(α)Q(α)+R(α)
　　 =0*Q(α)+R(α)
　　 =R(α)

特に，g(x)=x^2+x+1であるとき，1の3乗根ω=(-1±i√3)/2を代入するのは頻出です．

また，f(x)が3次関数であり，極大値・極小値を求める際にf'(x)=0の解α,βがきたない数である場合は，まずf(x)をf'(x)で割り，
f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)
としてから，αを代入してやると
f(α)=R(α)
となるので，計算は楽になる．

■2．因数定理への言い換え
当たり前の話だが，案外思いつきにくいようなので．
f(α)=β
⇔f(x)-βはx-αで割り切れる
⇔f(x)-βはx-αを因数にもつ

■3．重解
f(x)=0が重解x=αをもつ
⇔f(α)=f'(α)=0
⇔f(x)-f(α)は(x-α)^2で割り切れる．

■4．多項式の微分
理系では数３範囲であるが，文系でも覚えておくと役に立つ．

【1】f(x)g(x)を微分すると
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
【2】{f(x)}^nを微分すると
nf'(x){f(x)}^(n-1)

f(x)をg(x)で割った商がQ(x)，余りがR(x)であるとき，
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)
両辺を微分すると
f'(x)=g'(x)Q(x)+g(x)Q'(x)+R'(x)
となる．(g(x)が(x-1)(x-2)^2というように，(x-α)^nの形を因数にもつ場合に有効)

■5．合成
【1】f(f(x))-f(x)はf(x)-xで割り切れる．

【2】f(f(x))-xはf(x)-xで割り切れる．

【3】f(g(x))-f(h(x))はg(x)-h(x)で割り切れる．