高校数学の裏技コミュのバウムクーヘン法

常に１つの象限にある関数（例：y=logx 2≦x≦4)とx軸（とx=2、x=4）に囲まれた面積をy軸まわりに回転させた立体の体積は2πxlogx(つまり2πxy）を２から４にxで積分したのと同値。
俗にバウムクーヘン法と呼ばれる求め方。
これだといちいちyの関数に直す必要は無い。
象限が変わる時もy=0となるxで区切って求めればよい。
センターでは使わないと思うけど２次では使える。

コメント(13)

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[1] mixiユーザー 08月13日 12:52

■一般に、y=f(x)のグラフとx軸が囲む部分Dをy軸のまわりに回転してできる立体の体積をVとする。

このときVは、微小区間[x,x+Δx]におけるy=f(x)とx軸で囲まれた領域(細長い長方形とみなせる)をy軸のまわりに回転してできる立体ΔVを寄せ集めたものと考えられる。

ΔV = π{(x+Δx)^2-x^2}f(x)
　　= πf(x){2xΔx+(Δx)^2}
であるから
Σ[a,b]ΔV=Σ[a,b]2πxf(x)Δx+Σ[a,b]2πxf(x)(Δx)^2
(Δx)^2は0に収束するので、
V = ∫[a,b]2πxf(x)dx

※当然ながら教科書範囲外となるので、何の注釈もなしに使用すれば減点の可能性があります。上の内容ほど厳密にはいりませんが、答案使用では図を書いてΔxを使った注釈をつけておいた方がいいでしょう。

[2] mixiユーザー 08月13日 13:22

立体の外周を薄くはがすと
たてf(x)よこ2πxで面積
2πxf(x)の長方形になりますよね。

[5] mixiユーザー 12月13日 23:08

　河合模試では、この方法を使って満点でしたよ。証明はしませんでしたが、絵をかいておきました。
　予備校業界では有名な技ですし、大学の先生は絶対に知っていますから、模試や入試で使っても平気だと思いますよ。

　ちなみにｙ軸回転に限らず、任意の直線の周りに回転させるときはいつでも似たような方法が使えます。公式化は難しいですが。

[6] mixiユーザー 12月13日 23:11

置換積分をもちいれば証明できますよ

[8] mixiユーザー 12月13日 23:46

グラフを斜め軸に沿って回転させた体積を求める時も非常に有効ですよ。

傘状の物体を重ねて立体を作ると考えると楽です。

斜め軸回転の場合は普通にやるよりはこの方法か回転行列の使用がお勧めだと思います。

[9] mixiユーザー 12月13日 23:56

斜め回転の体積は回転行列を使わなくても斜影で簡単に求まりますよ

[11] mixiユーザー 12月30日 01:01

バウムクーヘンって試験に書くと恥ずかしいから、shell methodって書いた方がカッコいいですよ