高校数学の裏技コミュの３項定理

裏技と言うほどの物ではないですが、

（ａ＋ｂ＋ｃ）^10のａ^3ｂ^2ｃ^5の数を求める問題って、
教科書だと２項定理を２回使う方法を書いてあるけど、

「同種の物がある場合の順列」で、
１０！／（３！・２！・５！）の方が簡潔で、うちの塾の生徒も「こっちの方がいい」と言ってました。

コメント(13)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 07月21日 01:25

なぜ教科書は3項定理を載せないんでしょうかねぇ…イメージしやすいのに。

ちなみに3項係数はパスカルの三角"錐"で雪崩式に求められます。
　　　１　　　n=0

　　　１　　　n=１
　　１　１

　　　１　　　n=2
　　２　２
　１　２　１

　　　１　　　n=3
　　３　３
　３　６　３
１　３　３　１

各段の合計は 3^nです。

[2] mixiユーザー 07月21日 08:03

「パスカルの三角錐」は私も頭では考えていましたが、３次元的だから、表現するのは難しいと思ってました。
なるほど、こうすればわかりやすい。目から鱗です。

順列組み合わせに関しては、他にも「簡潔でないやり方」が模範解答とされている場合がある。

「１０本のうちの３本があたりである。最初にＡが、その次にＢが１本ずつくじを引く。Ａ、Ｂそれぞれが当たりを引く確率は？」

Ｂが当たる確率を、いきなり「３／１０」とすると誤答扱いにされる場合がある。Ａが当たりを引くかどうかで場合分けして、ということで解答させたいらしいが、それなら最初から、場合分けによってしか求められないような問題設定、「Ａが当たりを引いたらＢは１本だけ引く。Ａがハズレなら、Ｂは２本引く」等とすればいい。

「最初にＡが引くが、当たりかハズレかは見ないでおく。次にＢが引いて、当たりかハズレかを確認する。そのあと、Ａも当たりかハズレか、を確認する。」という問題設定なら、場合分けは、「Ａがくじを引いた時点」にするのか、「Ｂがくじの当たりハズレを確認した時点」にするのか？

　最初の問題のＢに関しては、「Ｂは１０本のうちのどれか１本を引く。どれを引く確率も同じだから、それぞれのくじを引く確率はすべて１／１０。当たりは３本だから、答えは３／１０」
と書けば文句を言う教師はいないと思うが。

　「１０人が１本ずつ引く。最後に引いた人が当たりとなる確率は？」という問題なら、場合分けの方法はかなり煩雑になると思うが。

[3] mixiユーザー 07月21日 08:28

文科省の指導で、二項定理まで。となっているので多項定理は発展としている教科書が多いですね。

EARLさんの仰るとおり、３項定理のイメージいいですね。
文科省もあれもダメこれもダメ、とか言う前にあれもいいこれも良いにしてくれないと浮きこぼれの生徒が多数出ます（そういう方向に、方向転換しているようにも思えますが）

にしひろさんの仰ることそのとおりです。積の法則が数学?で出ていたころ（２年前まで）は数?ではコンビネーションを使った方法が模範解答とされていましたが、
＞「３／１０」とすると誤答扱いにされる場合がある
は酷いです。
そういう数学的感覚を大切に育てて欲しいものです。

[4] mixiユーザー 07月21日 11:34

＞三角錐
４項係数を雪崩式に求めるパスカルの４面体なんてのもできるんです(あまり使い道ないですが)。また、パスカルの三角形は下に拡張していきますが、上にも拡張するとなかなか面白いですよ。負の二項係数ですので高校範囲外になりますけどね。

3/10で×はねぇ…(苦笑)感覚はあくまでも検算でやれということでしょうか。確率のみならずどの分野でも感覚的なものは重要で、答案へ直に反映したいもんですね。

ただ、稀に感覚だけで解くと本当に間違いになる問題もたまにあるので注意がいりますけどね。例えば下の問題。

『Ａ君とＢ君がそれぞれサイコロを１個投げ、大きい目の方を勝ちとするゲームを行う。正常に目をふってあるサイコロを用いるＡ君に対し、Ｂ君は、どの目も１～６の範囲の整数で、目の和は21という条件をみたしている限りは自由に自分のサイコロの目を決めることができる。Ｂ君は上手に目をふることによって、このゲームを有利に展開することができるか。』

答えは
「できない(勝つ確率はＡ君もＢ君もおなじ)」
です。これを塾生に解かせたら、ほとんどの生徒が答えは合ってるのですが、途中過程を
「期待値を計算すると同じだから」
というものにしていました。確かに感覚的に考えれば期待値を持ち出したくなるのは分かりますが、これは数学的に間違いですからね。期待値と確率は別物です。

[5] mixiユーザー 07月21日 18:37

＞浮きこぼれの生徒

　いい言葉ですね。文科省も日教組も教育再生会議もマスコミもその問題に気づかない、「浮きこぼれ」問題。授業なんか寝てても分かるからと閑を持て余していると「授業態度がよくない」、教師よりも優れた解答をすると、「教えた手順でやれ」、もっと高度なことをやりたいのに、簡単な問題を山のように宿題に出されて、、、。

＞『Ａ君とＢ君がそれぞれ

面白い問題ですね。懸賞問題で使わせてもらっていいでしょうか？高校の前で塾のチラシを配るのですが、面白い懸賞問題を載せると「解いてみました」とやってくる高校生がいて楽しいのですが、問題として面白くてなおかつ、適度に難しい問題がなかなかなくて。

１～６という制約をなくして、単に「整数」としたり、「１～６の実数」としたらどうか？とかも問題にすれば、期待値では解けないと分かりますね。

[6] mixiユーザー 07月21日 21:02

俺は学校で教えるならば、『簡単な導き方＝いい教え方』ではないと思う。
学校教育では、考え方を養わなきゃいけないと思っているので、スタンダードなやり方でやって行った方がいいと思う。
（進学校は別にいいと思うが…）

理解した上で、『実はコレはね…』という具合に教えて行くのがいいんじゃないかと思う。最初から簡単なやり方を教えても、結局は生徒たちのためにはならないと思う。

まぁ、文科省の改定が毎回改悪になっているのは否めないが…

[7] mixiユーザー 07月21日 23:10

＞とっすぃさん

私も教えるときは、生徒がまず「考え方は素朴でわかりやすいけど、面倒な方法」をやろうとすれば、それでやってもらいます。あるいは最初にそれを敢えて説明します。

例えば、２つの円の交点を通る直線を求める問題で、交点を求めてからその２点を通る直線を求めるみたいな。

　ただ、上の３項定理は、２項定理のごく自然な拡張になっているわけで、２項定理を、公式暗記ではなく自分で創意工夫して導いた生徒なら、すぐに発展させることが出きると思うのです。
　それを敢えて、「２項定理を２回使う」という方法に押しとどめるのは不自然な気もするのです。

　もちろん、生徒の理解度など考慮すべきことはありますが。

[8] mixiユーザー 07月21日 23:45

「展開」という作業が

それぞれの（　）の中から文字を１つ選んで，掛け合わせる

と伝わったら，係数は並べ方の総数なので，２項定理も多項定理も変わらない，と考えるとまとめて処理できるかもね。

と授業では喋りますが，なかなか伝わらないですね，これは。

[9] mixiユーザー 07月22日 00:08

＞２項定理を２回使う

確かにこれだと式が長くなって、ややこしくなりミスもめだちますよね。

私の教えている学校の教科書は、トピの式のbが2b、cが3cになっているので、かなり複雑になり、そのときには「それ」を使った方がいいなと思います。

私の高校のときの教科書には、トピで書いてある式を使っていた記憶があります。が、『何でそうなるか』というのを習った記憶はありませんでした。　汗

なんだか年を追うごとに、変に改定されるのに腹が立ちます。もっといい学習指導要領になって欲しいものです。

トピと関係ない話になったことをお詫びいたします。

[10] mixiユーザー 07月26日 21:50

多項定理にちょうどつまずいてたんです

すてきな情報ありがとうございます

[11] mixiユーザー 07月27日 07:18

トピがあがったついでに。

０，１，２，３の数字でできる、１～５桁の数字の個数。同じ文字を何度つかってもいい。

解答例　３＋３・４＋３・４＾２＋３・４＾３＋３・４＾４

しかし、例えば「０４２３」を「４２３」とみなすことにすれば、「一番大きな位の数は０ではない」という制約はなくなり、４つの数を５個並べれば、１～５桁の数のどれかを表すことになる。
「００００」のみが条件に合わない。

よって、４＾５－１

両者を結べば副産物として、等比数列の和の求め方へもつながる。

[12] mixiユーザー 07月27日 10:04

＞０,１,２,３の…

４進法でも解決できますし、高校生にとっては完全に裏技知識になりますが４項定理でも解決できますね。

●４進法に対応させれば、100000[4]より小さい数全てなので4^5-1通り

●0をk個、1をm個、2をi個、3を5-(k+m+i)個使うとして、求める個数は
Σ[k+m+i=1,5]5!/{k!m!i!(5-k-m-i)!}
ここで、5!/{k!m!i!(5-k-m-i)!}は
　f(x,y,z)=(1+x+y+z)^5
の(x^k)(y^m)(z^i)の係数に対応するので、
f(1,1,1)=(1+1+1+1)^5=4^5
これがΣ[k+m+i=0,5]5!/{k!m!i!(5-k-m-i)!}に等しいので、
Σ[k+m+i=1,5]5!/{k!m!i!(5-k-m-i)!} = 4^5 - 5!/{0!0!0!5!} = 4^5-1通り

[13] mixiユーザー 07月28日 09:41

なるほど。数字の列のみが問題なのであって、その数字列の表す数字としての大きさは関係ないわけだから、４進法でいいのですね。
さらに大小関係は１０進法も４進法も同じだから、

「２３２００より小さい数」も、２３２００を４進法とみなして考えれば、煩雑な場合分けは必要ありませんね。

「４進法は使えるかな？」とは思ったのですが、ここまで気づきませんでした。ありがとうございます。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ