高校数学の裏技コミュの空間方程式

空間座標の問題はベクトル以外にも解く方法があります。平面座標の方程式の延長で、空間方程式というもの。

■１．最初に
　空間方程式は空間ベクトルから容易に導けます。その形は平面座標での方程式の延長に過ぎないことは見れば分かりますが、注意しなければならないのは直線の式と平面の式。混同しないように注意！

■２．直線の方程式
【1】点A(a,b,c)を通り、ベクトルp↑=(s,t,u)に平行な直線は、stu≠0のとき

　(x-a)/s = (y-b)/t = (z-c)/u

の形で表されます(分母が0のときは分子も0とすればstu=0のときも通用します)。

■３．平面の方程式
点A(a,b,c)を通り、n↑(α,β,γ)に垂直に交わる平面の方程式は

　α(x-a)+β(y-b)+γ(z-c)=0

または

　αx+βy+γz+δ=0

の形(x,y,zの一次式)で表されます。x切片、y切片、z切片はそれぞれδ/α、δ/β、δ/γとなります。
※平面上の2つのベクトルp↑,q↑が分かっていれば、そのベクトルの外積p↑×q↑の成分が上の方程式の(α,β,γ)になります。外積については別のトピック参照。

■４．点と平面の距離
　点(Xo,Yo,Zo)と平面αx+βy+γz+δ=0の距離は
　|αXo+βYo+γZo+δ|/√(α^2+β^2+γ^2)

■５．平面と平面のなす角度
　平面ax+by+cz+d=0と平面px+qy+rz+s=0がなす角の大きさをθとすると、
　cosθ=(ap+bq+cr)/√{(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2)}

が成り立ちます。

■６．球面方程式
中心(a,b,c)、半径rの球面の式は

　(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

となります。
※(x-a)^2+(y-b)^2=r^2は空間においては円ではなく円柱を表すことに注意。z=2など、zが定数という条件がついてはじめて円となります。

■７．空間の極表示
平面の極表示は数学Ｃにあるのでそれを参考にされたし。空間では点(x,y,z)を次のように極表示します。
　x = rcosθ
　y = rsinθcosφ
　z = rsinθsinφ
　r = √(x^2+y^2+z^2)

以上簡単なもののみ。空間図形だけでなく3変数方程式の問題にも応用がききます。

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 07月21日 23:48

私が学生の頃はやっていましたが，今は空間の方程式はあまりやらないですね。球面の方程式くらいは知っておいてもいいとは思います。

他はベクトルで何とかしていくカリキュラムだと思うので，無理やりには教えないですが，ベクトル方程式自体が高校生には辛いみたいですね。「式を満たす点の集まりが図形」であることを抜きにして，公式だけを覚えているみたいで。

[2] mixiユーザー 07月22日 02:28

「■４.点と平面の距離の公式」の証明で正射影ベクトルを利用したきれいな証明法を考えたので書いてみました。

(証明)
点A(a,b,c)と平面S:αx+βy+γz+δ=0との距離をdとし
点Aをa↑=(a,b,c)、
平面Sの法線ベクトルの1つをn↑=(α,β,γ)、
平面S上の任意の点をp↑=(x,y,z)とおくと
p↑・n↑=αx+βy+γz=-δ　(∵p↑はS上の点)
いま点Aが原点Oに一致するように平行移動したとき、平面S上の任意の点p↑は平面T上の点q↑=p↑-a↑に移動する。
このとき原点Oと平面Tの距離はdであり、
n↑はTの法線ベクトルとなるから　(∵SとTは平行)
dはq↑のn↑上への正射影ベクトルd↑の大きさに一致する。
ここで
d↑=(q↑・n↑/|n↑|^2)n↑、
q↑・n↑=(p↑-a↑)・n↑
=p↑・n↑-a↑・n↑
　　　　=-αa-βb-γc-δ (∵p↑・n↑=-δ)より
d=|d↑|
=|(q↑・n↑/|n↑|^2)n↑|
=|q↑・n↑||n↑|/|n↑|^2
=|q↑・n↑|/|n↑|
=|-αa-βb-γc-δ|/√(α^2+β^2+γ^2)
=|αa+βb+γc+δ|/√(α^2+β^2+γ^2)
∴d=|αa+βb+γc+δ|/√(α^2+β^2+γ^2)

正射影ベクトルや、平面の方程式と法線ベクトル、内積の関係などの説明をかなり端折って書いてしまったのでわかりにくいかもしれませんが、ほとんど計算のいらないスマートな証明法です。点と直線の距離の公式も同様の方法で証明可能です。

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