高校数学の裏技コミュのピタゴラス系整数方程式の一般解

答案使用は論外ですが、見通しがよくなるでしょう。整数解も楽々求められます。

■三平方の定理の整数解
△ABCは∠BAC=90゜、AB=X、AC=Y、BC=Zである。このとき、
　X^2 + Y^2 = Z^2 …【1】
が成り立つ。この(X,Y,Z)が全て自然数であるものを求めるとき、以下のように自然数の組(p,q)を設定すれば、【1】をみたす。
　X = p^2 - q^2
　Y = 2pq
　Z = p^2 + q^2

これはピタゴラス数といわれ、X^2 + Y^2 = Z^2をみたす整数解を無数に与えてくれます。

■n平方の定理(横への拡張)
　X[1]^2 + X[2]^2 + … + X[n-1]^2 = X[n]^2
の自然数解は、n-1個の自然数(p[1],p[2],…,p[n-1])を用いると
　X[1] = p[1]^2 - p[2]^2 - p[3]^2 - … - p[n-1]^2
　X[2] = 2p[1]p[2]
　X[3] = 2p[1]p[3]
　…
　X[n-1] = 2p[1]p[n-1]
　X[n] = p[1]^2 + p[2]^2 + p[3]^2 + … + p[n-1]^2
によって無数に解を与えてくれます。

■n=3の場合の図形的意味
四平方の定理
　X^2 + Y^2 + Z^2 = W^2
の図形的適応例。∠BAC=∠CAD=∠DAB=90゜をみたす三角錐ABCDにおいて、△ABC,△ACD,△ADB,△BCDの面積をそれぞれS,T,U,Vとすると
　S^2 + T^2 + U^2 = V^2
が成り立つ。

※4次元以上に拡張すれば5平方、6平方にも図形的意義は与えられますが、高校レベルでは不要です。

※縦への拡張、つまり
　X^n + Y^n = Z^n
の整数解があるかについてですが、n≧3のときは存在しません(フェルマーの最終定理)。ただし、左辺が3個以上
　X^n + Y^n + Z^n = W^n
の場合、整数解が無数にあるかについてはまだ分かってません。