高校数学の裏技コミュの不等式あれこれ

不等式あれこれ。教科書に掲載ありの有名なものは
　相加相乗平均
　コーシー・シュヴァルツ
　三角不等式
がありますが、それ以外にもいろいろ。

■相乗調和平均
全て正の実数として
【1】√(ab)≧2ab/(a+b)
　等号成立条件：a = b

【2】(abc)^(1/3) ≧ 3abc/(ab+bc+ca)
　等号成立条件：a = b = c

■面積・体積不等式
【3】(ad-bc)^2≦(a^2+b^2)(c^2+d^2)
　等号成立条件：ac+bd=0

【4】(a^3+b^3+c^3-3abc)^2≦(a^2+b^2+c^2)^3
　等号成立条件：a^3+b^3+c^3-3abc=0

■凸不等式(or凹不等式)
区間p≦x≦qの全てのxについてf''(x)＞0であるとき、グラフy=f(x)は上に凸である。(←使用の際はこの前文が必要)
このとき、

【7】{f(α)+f(β)}/3≦f((α+β)/2)
　等号成立条件はα=β=γ

{f(α)+f(β)+f(γ)}/3≦f((α+β+γ)/3)
　等号成立条件はα=β=γ
(実際には何文字でも可能)

◎上に凸な例)
0≦x≦πのときのsinx
-π/2≦x≦π/2のときのcosx
0＜xのときのlogx
0≦xのときの√x

◎下に凸な例)
全実数でのa^x
全実数でのx^2

■接線不等式(近似等の問題で使用)
f(x)が区間a≦x≦bにおいて上に凸(f''(x)＞0)ならば、
f(x)≦f'(t)x-f'(t)t+f(t)
(下に凸ならば不等号は逆向き)

■シュヴァルツの積分不等式
【9】f(x),g(x)がa≦x≦bで連続な関数とするとき、次の不等式が成立する。
(∫f(x)g(x)dx)^2≦∫{f(x)}^2{g(x)}^2dx
(積分区間はa≦x≦b)

■特殊関数不等式
【10】0≦x＜π/2においてsinx≦x≦tanx
等号成立条件はx=0

【11】logx≦x-1
等号成立条件はx=1

【12】e^x≧x+1
等号成立条件はx=0

コメント(16)

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[1] mixiユーザー 06月18日 21:03

コーシー・シュヴァルツの不等式って、高校の教科書には載ってないですよね？それとも、僕の高校のレベルが低かっただけかな？ちなみに、僕は予備校で習いましたけどね･･･

[2] mixiユーザー 06月18日 21:42

コーシー不等式は案外ベクトルのとこに掲載あったりします。内積不等式と言われるくらいですから。

結局は

p↑・q↑≦|p↑||q↑|

を成分表示したに過ぎないので。

[3] mixiユーザー 06月18日 22:12

コーシー不等式は教科書には載ってませんが、EARLさんの言う通りベクトルの不等式として考えるとわかりやすいので予備校では教えるようにしています。

[5] mixiユーザー 06月18日 23:32

あれ？

シュバルツの積分不等式って

(∫fg dx)^2=∫f^2dx∫g^2dx

ですよね？

f,gをヒルベルト空間上の無限次元ベクトルと見なせばベクトルの時と同様に判別式の条件から簡単に導出できます。

大学時代に関数が無限次元のベクトルと見なせることを知ったときは目から鱗でした。関数１つ１つが１つのベクトルと見なせるなんて見つけた人は良く思い付いたなぁと感心した思い出があります。

こういった思考ができるようになると何かいろんな数学が自分でも作れそうな気分にさせてくれますね。経路積分なんてそのさいたるものじゃないでしょうか？すべての関数について積分するなんて発想はそれが無矛盾で定義されるかどうかより先に数学的幾何学的発想があるんで、その先に何かすごい世界が開けているような予感を感じさせてくれます。

かなり脱線してしまいましたが、言いたかったのは数学の公式の背後には壮大なロマンが隠れているんだよってことです。

[6] mixiユーザー 06月18日 23:33

＞Beamさん
式だけ見てたら難解に見えるかもしれません。

ですが上で紹介した不等式は全て図をかけば明らかなものばかりです。是非とも図を書きながらマスターされることをオススメします

[7] mixiユーザー 06月18日 23:35

＞kabutaroさん
おお、途中がぬけている…これは申し訳ないです。ご指摘の通りです。

[10] mixiユーザー 06月19日 23:57

できますよ。問題集に証明が掲載されてますし

[12] mixiユーザー 06月20日 09:53

5年前ですが大数にあったのと、「微積の極意」にも説明あったかと

[13] mixiユーザー 06月20日 10:39

補足

Jensen不等式は数学的帰納法で簡単に証明できます。名大だったかな？どっかで出題あったはず。

まあJensenの不等式は図形を見れば明らかなわけですが、かといって図形を使って証明すると、部分的に循環論法になってしまい論証不十分となりかねない気がします。

[15] mixiユーザー 06月20日 19:02

証明なら↓をどうぞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/jensen.htm