高校数学の裏技コミュの合同式

整数の裏技といえば合同式。覚えれば便利。

整数nを整数pで割ったときの余りを考えるときに使います。商をq、余りをrとすると、

　n = pq + r

です。これを合同式で表すと

　n≡r (mod p)

となります。これを「pを法としてnとrは合同」と言います。通常の割り算との違いは、n、rが自然数だけでなく整数として定義できる(つまり負でもＯＫ)ことです。また、r＜pである必要もありません。

例)
●算数
2007 = 7*286…5
●高校数学
2007 = 7*200 + 607
　　= 7*300 - 993
　　= 7*286 + 5
●合同式
2007 ≡ 607 ≡ -993 ≡ 5 (mod 7)

■合同式の演算について
a ≡ b (mod p), c ≡ d (mod p)
であるとき、以下のことが成り立つ。

a + c ≡ b + d (mod p)
a - c ≡ b - d (mod p)
ac ≡ bd (mod p)
na ≡ nb (mod p)
a^n ≡ b^n (mod p)
a ≡ b±np (mod p)

■例題1
2007*13を7で割った余りを求めよ。
【解答】
2007*13 ≡ 5*6 ≡ 30 ≡ 2 (mod 7)
∴答えは2

■例題2
48^n - 1を7で割った余りを求めよ。
【解答】
48^n - 1 = (8*6)^n - 1
　≡ {1*(-1)}^n - 1
　= (-1)^n - 1 (mod 7)n奇数のとき
(-1)^n - 1 = -2 ≡ 5 (mod 7)
n偶数のとき
(-1)^n - 1 ≡ 0 (mod 7)

よってnが偶数のときは割り切れ、奇数のときは5余る。

他にもいろいろ使い方あり。

■入試の答案使用について
合同式を答案使用に使うことには賛否両論がありますが、予備校や参考書で解答に堂々と合同式を使うところも多く、文科省ガイドライン外でありながら使用が暗黙の了解で認められているようです。
　とはいえ、答案に使用するときは
「nをpで割った余りがrのとき、n≡r(mod p)と表記する」
ということを冒頭に書かないと減点or採点してくれない大学もあるので(京大採点官談)それは頭にいれておいてください。

コメント(34)

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[1] mixiユーザー 06月18日 23:48

いいセンスだ

[2] mixiユーザー 06月19日 12:27

実際の話、高校数学の範囲外のこと答案に書いてしまうと、減点になってしまうんですかね？芝浦工業大学入試で、パップスギュルダンの定理用いて答案作成しましたが、だめだったのでしょうか？

[3] mixiユーザー 06月19日 13:07

＞パイパイさん
大学によるでしょうね。減点される可能性は十分あるとは思いますが。あとはパイパイさんがどのように使ったかによるかと。たまに積重心を分かってないまま使用してる人がいるので

[4] mixiユーザー 06月19日 15:25

代ゼミの京大プレ模試だとmodいきなり使っても○でしたが本番ではNGなんですね。

[5] mixiユーザー 06月19日 20:18

ちなみに、“mod”ってまったくわからないのですが、進学校のレベルの高いところでは、習っている事項なのでしょうか？

[6] mixiユーザー 06月19日 20:43

やらないところはやらないですよ。ただ知ってりゃ便利
チェバやメネラウスも僕の高校はしませんでした。。
予備校で教えてくれんじゃない？=^ェ^=

[7] mixiユーザー 06月19日 21:04

私も進学校でしたが、合同式は習ってません。予備校でも教わらずで、知ったのは月刊誌「大学への数学」でした。

＞チェバ、メネラウスの定理
高校では習わないというか、これは中学で習う内容では？

[8] mixiユーザー 06月19日 22:36

進学校でしたけどマジで習いませんでした(泣)
けどニューアクションωで習いました(笑)

[10] mixiユーザー 06月20日 00:10

メネラウス・チェバの定理は数学Aの教科書に載っていました。が、数列しかやらないで授業では一切触れませんでした。
ユークリッドの互除法は証明が教科書(数A)に載っていて、実際に模試とかでは証明なしで使用可能でした。

時代によりけり、でしょうか？

[11] mixiユーザー 06月20日 00:22

私のときはユークリッド互除法は未掲載でした。あるのは大数見て知りましたが、一度も使うことなく受験を終えましたけどね(笑)

チェバ・メネラウスの定理は中学の教科書の幾何のところに掲載ありましたよ。知ったのはさらにさかのぼって小学5年のときの塾でしたが。

[12] mixiユーザー 06月20日 00:29

EARLさんが自分より年下だということを知った俺は負け組みorz

うちの高校では平面幾何は授業では一切やりませんでした。地元のトップ大学以下云々では出題されてないという理由で。
自分は大数読んでたので東大京大クラスの模試で使っていましたが。

[13] mixiユーザー 06月20日 00:39

ちょwww
何をもって勝ちとか負けとかあるんですかwww

平面幾何知ってたら、たまにみんながベクトルやら三角比やらで苦戦する問題が瞬殺できることがあります。まあ予備校でベクトルの解法の解説終わってから
「実は初等幾何で解くと…」
と解説すると全員が「あっ、そういえばっ！」って顔します。

[14] mixiユーザー 06月20日 00:59

いやなんとなくｗ
小5でチェバとかｗ
ゆとり教育どこー？

ちなみに塾は行ってなかったんですが(大数が塾？ｗ)、高校でまさに三角比で普通に解くと黒板一枚埋まるようなやつを平面幾何で解いて授業後数学の先生に聞いたら、次の日教壇に立たされましたｗ

[16] mixiユーザー 06月28日 00:42

すいません、今さらなんですが………合同式の利点が分からないんですが、良かったら教えて下さいm(__)m

[17] mixiユーザー 07月24日 15:45

質問です
17ｘ≡９（ｍｏｄ１４４）

また
２９ｘ≡５（ｍｏｄ１２０）

91ｘ≡９（ｍｏｄ900）

56ｘ≡７（ｍｏｄ343）

をそれぞれ
ｘ≡Y（ｍｏｄＺ）

に直したらＹとＺはそれぞれどうなりますか？

よろしくお願いいたします

[18] mixiユーザー 07月25日 20:50

＞カトゥ
＞合同式の利点

一年後の今日は日曜日だから休みでハッピーだとわかるじゃんか。
１≡365(mod7)

[19] mixiユーザー 07月25日 21:19

> 前世の記憶さん

計算するにはどうすればいいのでしょう

[20] mixiユーザー 08月22日 16:24

本日，生徒から，整数問題について質問を受けたが，完全剰余系を使う問題らしくて，完全剰余系について，ほとんど勉強をしたことがなかったため，全く答えてあげることができなかった。
こちらのトピックにて，合同式を少し見つけて読んでみたのですが，よくわからないままにしていた。

いよいよこれを機に，完全剰余系と合同式について，理解しようと思う。
そもそも完全剰余系と合同式で同じものですか？
それとも，違うものですか？

[23] mixiユーザー 08月22日 18:15

> カワイさん
それって、その直線上の格子点を求める奴じゃないですか？
9x=7y-1
これの解の１つって(-4,-5)だから
この点を通ることより
9(x+4)-7(y+5)=0
よって、9(x+4)=7(y+5)
(x+4)=7K (y+5)=9K K∈Ζ
みたいなじゃないですか

？