高校数学の裏技コミュの整式の解発見法

整数係数の整式
f(x) = a[n]x^n + a[n-1]x^(n-1) + … + a[1]x + a[0] = 0
の解について。

■小技１．有理解の形の絞り込み
f(x)=0が有理解(有理数の解)をもつならば、その有理数の解は
　(a[0]の約数)/(a[n]の約数)
の形です。特にa[n]=1のときは、有理数解は整数であり、a[0]の約数です(あくまでも「有理解をもつならば」であり、「有理解をもつための条件」でないことに注意)。

例えば3次方程式
　x^3 - 4x^2 - 3x - 10 = 0
の解を求めたいとき、xに整数を代入していきますが、候補をしぼらないと時間の無駄です。この方程式では最高次の係数が1なので、有理解をもつとしたら整数解で、10の約数、つまり
　±1,±2,±5,±10
のいずれかを解にもつということです。実際、x=5は解になります。

■小技２．有理解をもたない条件
f(x)=0が有理解をもたないときは、xにどれだけ整数を代入しても無駄です。予め持たないと分かれば方針転換しやすいです。
(1) a[n], a[0], a[n]+ a[n-1]+…+a[1]+a[0]が3全て奇数ならばf(x)=0は有理解を持たない。
(2) f(x)が3次方程式であり、f(-1),f(0),f(1)がいずれも3で割り切れないとき、f(x)=0は整数解をもたない。

「有理解or整数解をもたない」判定法は他にもいろいろあります。使いやすいものを知っておられる方追加お願いします。