高校数学の裏技コミュの隣接3項間漸化式の検算

始めまして。ご挨拶代わりに小技を紹介します。
どのくらい認知されているのかも興味がありますので、
知っていたor知らなかっただけでもコメントを頂けると嬉しいです。
相当読みづらいので、ノートに書き下すことをお勧めします。また、添え字をうまく書けないので数列の一般項をA(n)と書くことにします。

隣接3項間漸化式　A(n+2)+pA(n+1)+qA(n)=0

から得られる2次方程式　X^2+pX+q=0

が、異なる2解α、βをもつとき、一般項は必ず

A(n)=sα^(n-1)＋tβ^(n-1)

となるので、初項と第2項の値からs、tの値を求めることにより一般項が求められます。

例）A(1)=1,A(2)=2,A(n+2)+3A(n+1)-4A(n)=0

2次方程式は　X^2+3X-4=0なので解は4,-1

よって一般項は　A(n)=s*4^(n-1)+t*(-1)^(n-1)　となる。

A(1)=1より　s+t=1
A(2)=2より　4s-t=2

これを解いて　s=3/5,t=2/5

よってA(n)={3*4^(n-1)+2*(-1)^(n-1)}/5

2次方程式が重解を持つ場合は、またの機会にします。

長々と失礼しました。

コメント(26)

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[1] mixiユーザー 04月03日 15:51

初めましてm(_ _)m
今大学の教育学部に所属していて、今年の栃木県中学校数学科を受ける予定です。

その技法は大学で離散数学を勉強してから知りました。
これを知ったときの気持ちは、高校時代あれだけ苦労して解いたのは何だったんだって感じでしたね（笑）

[2] mixiユーザー 04月03日 22:48

route-4号さん

早速ご返答ありがとうございます。
私は高校生のときに予備校の先生に教えてもらいました。

大学1年のときに、3項間漸化式を満たす数列全体の集合が
α^nとβ^nを基底とする2次元線形空間になることを勉強して、
この解法の意味がわかった気がしました。

「ワザ」が数学的に深い意味を持っていると「面白い」とか「勉強していてよかった」とか思うものですよね。

[3] mixiユーザー 04月03日 23:54

特性方程式(２次)と呼ばれる手法ですね。

必須内容ではないものの、受験数学ではよく教えますね。

[4] mixiユーザー 04月04日 00:34

ぽーるさん

ご返答ありがとうございます。

この解答方法では記述式の答案には向かないと私は思っていて、だから検算用だと教えているのですが、皆さんはどのように扱われているのでしょうか。

[6] mixiユーザー 04月04日 10:56

文系の答案には書かない方が良いと思います。。あの特性方程式も極限とらないと分からない事だし、、文系の範疇越えてると思います

[7] mixiユーザー 04月04日 22:18

アンジェラさん

ご返答ありがとうございます。

文系理系を問わず、一般項の形をs*α^(n-1)+t*β^(n-1)と仮定しているところが論理的飛躍になり、それが答案として不適当だと私は考えます。

また、隣接3項間の場合の特性方程式は極限から導かれたものではなく、解と係数の関係を利用するために作ったものだった気がします。私の思い違いかもしれませんが。

[8] mixiユーザー 04月04日 23:08

なるほどでもその見方もできますね。。
関係ないですが三項間漸化式のこと隣接三項間ってところに感銘を受けてしまいました。。(笑)

[9] mixiユーザー 04月04日 23:28

アンジェラさん

I(n)=∫(sinx)^n dx　(0≦x≦π/2) などは隣接していない二項間の漸化式をみたしますよね。

でも、何気ないところに刺激を受けることってありますよね。
私が中3のときの、数学の先生の「円は円というだけで相似だ」という言葉が今でも忘れられません。

[10] mixiユーザー 04月04日 23:45

フトシＭ＠ＴＨさんは将来どのような将来にすすみますか？
フトシさんの様な方がもっと教育会にいてくれたら数学教育はかわると思うのですが…

[11] mixiユーザー 04月04日 23:48

どのような将来→どのような職業です
国語弱いのですいませんでした。

[12] mixiユーザー 04月05日 00:09

アンジェラさん

私は既に高校の教員ですよ。

[13] mixiユーザー 04月05日 00:12

ｫｫｫｫ～～！なんとうらやましい！！生徒になりたかったです(笑)(o^v^o)生徒さんうらやましいです

[14] mixiユーザー 04月05日 12:40

恥ずかしいので、数学の話に戻しましょう。

[17] mixiユーザー 06月07日 23:05

istさん

ご返答ありがとうございます。

2次方程式が重解αをもつとき、一般項は必ず
A(n)=(sn＋t)α^(n-1) となるので、初項と第2項の値からs、tの値を求めることにより一般項が求められます。
固有値が重解になるときの固有空間の話が根幹にあると記憶していますが、もうかなりの部分忘れてしまいました。

[18] mixiユーザー 06月07日 23:08

RONさん

ご返答ありがとうございます。

私もこの話をする場面がなかなか訪れません。タイミングを間違うと解法の暗記になってしまいますからね。

[20] mixiユーザー 06月08日 03:40

解法は暗記でもいいじゃないですかぁ(・∀・◎)

３×３＝９
も
４９×５１
＝(50-1)(50+1)
=2500-1
=2499

も解法記憶ではないですか～

[21] mixiユーザー 06月08日 05:24

フトシM＠THさんのは漸化式の解法とは言いませんよね？

漸化式を解いた結果がA(n)=sα^(n-1)＋tβ^(n-1)の形に書けるということであって、実際に解くとs,tはα,βで表されるけれどもそれを毎回漸化式を解いて求めるのは手間だし公式としても覚えづらいだから、解の形からA(1),A(2)を使って係数s,tを求めてしまおうってことですね？

しかしそれは解の形を公式として暗記しているに過ぎず漸化式の解法とは言えません。

そもそもこのα,βというのは、先の３項間漸化式を

A(n+2)-αA(n+1)=β{A(n+1)-αA(n)}

と等比数列の漸化式の形に変形する際の係数です。これと先の３項間漸化式

A(n+2)+pA(n+1)+qA(n)=0

の係数を比較すれば

α+β=-p
αβ=q

が得られるので、これはとりも直さず２次方程式

x^2+px+q=0

の解と係数の関係に他ならないので、この方程式を解けばα,βが求まって先の等比数列の形に変形できるわけです。

B(n)≡A(n+1)-αA(n)

と定義すれば

B(n+1)=βB(n)

と書けますからB(n)は等比数列で

B(n)=B(1)β^(n-1)

すなわち

A(n+1)-αA(n)={A(2)-αA(1)}β^(n-1)　・・・?

が得られます。解と係数の関係はα,βについて対称ですから同時に

A(n+2)-βA(n+1)=α{A(n+1)-βA(n)}

も成り立つので同様にして解くと

A(n+1)-βA(n)={A(2)-βA(1)}α^(n-1)　・・・?

が得られます。α≠βのとき?-?より

A(n)=sα^(n-1)＋tβ^(n-1)

の形に書けて係数s,tは

s={A(2)-βA(1)}/(α-β)
t=-{A(2)-αA(1)}/(α-β)

と求まります。

[22] mixiユーザー 06月08日 05:53

>>15,17
特性方程式が重解になる場合は先の説明でα＝βの場合ですからα^(n-1)の係数{A(2)-αA(1)}をｋとおけば

A(n+1)-αA(n)=kα^(n-1)

が成り立つので、この漸化式を繰り返し使えば

A(n)=αA(n-1)+kα^(n-2)
　　=α{αA(n-2)+kα^(n-3)}+kα^(n-2)
　　=A(n-2)α^2+2kα^(n-2)
　　=A(n-3)α^3+3kα^(n-2)
　　=A(n-4)α^4+4kα^(n-2)
　　=・・・
　　=A(1)α^(n-1)+(n-1)kα^(n-2)

ここでｋを元に戻すと

A(n)=A(1)α^(n-1)+(n-1){A(2)-αA(1)}α^(n-2)
　　={α(2-n)A(1)+(n-1)A(2)}α^(n-2)

となり解が得られます。

これはフトシM＠THさんの形式

A(n)=(sn＋t)α^(n-1)

と比較すると

s=-A(1)+A(2)/α
t=2A(1)-A(2)/α

となります。

[23] mixiユーザー 06月08日 06:12

ちなみに３項間漸化式A(n+2)+pA(n+1)+qA(n)=0の特別な場合に満たされる数列としてフィボナッチ数列は有名です。

フィボナッチ数列の漸化式：

　A(n+2)=A(n+1)+A(n), A(2)=A(1)=1

先の漸化式においてp=q=-1とした場合に相当します。

[24] mixiユーザー 06月08日 23:31

　数学を心底楽しむような子なら教えますが、テクニックになってしまいかねないので普通は教えません。教えるような場面にはなかなか出会えません。

　３＾（log3・７）＝？　　対数の底が３ということです。
たとえばこれに答えられない生徒がほとんど。　√２×√３＝√６　√２＋√３≠√５
これを理解している生徒でも、「なぜ？」と聞くと、返答できなくなります。

特性方程式の方法を教えて、なぜそれでうまくいくのかとのめり込むようならうれしいのですが、教えるのは現段階では無理です。

[25] mixiユーザー 06月09日 00:52

私は高校で数学の教員をしていますが，
隣接３項間の漸化式については，おとなしく解法を伝える程度でとどめておいてます。一般項を
　a_n = s α^(n-1) + t β^(n-1)
と置いて始めることはしません。実際，高校生からしてみたらこの事実がタイトルにあるように検算用に使われることもあまり考えられないような気はしてます。たまに，塾で色々教えられてきた生徒がこの話をしてきたことがありますが，なぜそうなるの？というレベルでは，なかなか答えられないのが現状です。

隣接３項間を満たすような数列全体は２次元のベクトル空間をなし，基底を２つとってこれば，そいつの１次結合で・・という話は知っていますが，高校生相手にそのことを話すことはまずありませんので。数列もベクトルと見て考えること自体は個人的に目からウロコでした。社会人になって勉強してやっとわかったくらいなんですが。

[26] mixiユーザー 06月10日 00:06

検算と言うことであれば、実際に求めた数列を漸化式に当てはめて確認する方が確実で安心できるように思う。

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