高校数学の裏技コミュのパップス・ギュルダンの定理

高3の時学校で流行ってましたｗｗ

回転体の体積を求める時に便利です。

コメント(21)

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[1] mixiユーザー 03月23日 21:58

あ～パップスギュルダンの定理ありましたね～～
重心の移動距離＊切断面の面積＝体積
でしたよね。
これは裏技ですねえ

[2] mixiユーザー 03月23日 22:22

逆に、これを使って“サインカーブの[0,π]区間とｘ軸で囲まれる図形”の重心を求めたりしたこともあります。

[3] mixiユーザー 04月08日 22:03

　大学への数学　の　学力コンテストで解答解説にコラムとして載ってましたね。証明を高校の範囲で行うにはどうすれば良いのでしょうか。。。
　自分の場合は基本的に検算に使う程度に抑えていますね

[4] mixiユーザー 04月09日 12:25

高校範囲での証明は、私の知る限り極めて困難ですね。
まず閉領域の重心を定義しなくてはなりません。
曲線y=f(x),x=a,x=b,x軸で囲まれる部分の重心の
x座標は　X=（∫xf(x)dx）/（∫f(x)dx）
y座標は Y=（∫(f(x)^2)dx）/2(∫f(x)dx)
だそうです。ただし積分はa≦x≦bの定積分です。
で、Yの式の分母を払って
（∫(f(x)^2)dx）＝2Y(∫f(x)dx)
両辺をπ倍して
π（∫(f(x)^2)dx）＝2πY(∫f(x)dx)
となり、左辺は回転体の体積、右辺の2πYは重心の移動距離、
(∫f(x)dx)は断面積になっています。
大雑把ですが、証明はこんな感じです。

[5] mixiユーザー 04月12日 12:56

有難う御座います。早速自分も、これをもとに証明に取りかかります

[6] mixiユーザー 01月07日 10:38

パップスギュルタンが使用できないのは，説明をつけようにも積重心の概念そのものが高校範囲を逸脱しているため証明が困難だから．そこで，条件つきでパップスギュルタンを合法化してみました．この説明なら高校範囲でことたります．

条件『回転する領域が回転軸と平行なある直線について線対称であること』

f(x)が区間[a,b]において
　f(x)≧0
　f((a+b)/2-x)=f((a+b)/2+x)
をみたすとき，y=f(x)，x=a，x=b，x軸によって囲まれる領域をy軸について回転させてできる立体の体積を考える．

(a+b)/2=cとする．f(x)=tをみたすxをp(t),q(t)(p(t)＜q(t))とすると，回転体をy=tで切断したときの切断面の面積s(t)は，
s(t)=πq(t)^2-πp(t)^2
　=2π(q(t)-p(t)){(p(t)+q(t))/2}
　=2π(q(t)-p(t))c
∴回転体の体積は
∫[0,f(c)]S(t)dt
　=2πc∫[0,f(c)](q(t)-p(t))dt
　=2πc∫[a,b]f(x)dx
(∵q(t)-p(t)は領域Dのy=tにおける横幅を表すため)
よって領域Dの面積をSとすると求める体積は2πcS

[9] mixiユーザー 06月02日 19:34

パップスギュルダンの定理は、高校範囲で証明可能だったと思います。
以前、ネット上のどこかで、見かけたような気がしますが、場所忘れてしまいました…。それもよく確認はしていないので、なんともいえないのですが・・・

[10] mixiユーザー 06月09日 23:33

高校数学の窓
http://whs-math.net/math/sec1351.html

http://whs-math.net/math/sec163.html

[12] mixiユーザー 07月09日 01:44

小学校のころ中学受験の有名な塾の先生が教えてくれました