高校数学の裏技コミュの外積

外積を使うとよいらしい。

平行四辺形の面積を利用した法線ベクトルなどが有名です。

さて、話を広げてくれる方、募集中です。

コメント(15)

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[1] mixiユーザー 03月11日 09:43

外積に加えて
平面の方程式
を使うと良いらしいですよ。

なお、外積は学校によっては減点対象になるようですので、本当に困ったときのみの利用が無難だと思います。

[2] mixiユーザー 03月26日 10:46

外積を使うと三角錐の高さをわざわざ求めなくても体積が出ます!!

[3] mixiユーザー 03月27日 01:05

平行六面体の体積が求められるので、三角錐も体積が出ます。
２次元バージョン｜ad-bc｜が平行四辺形の面積ですね。２分の１を掛けると三角形の面積。

基本的には、検算用として使う方が良いでしょう。

[4] mixiユーザー 03月27日 23:07

S=(1/2)absinx　と関連してるのですかね・・・

[5] mixiユーザー 06月02日 09:26

外積について

●2つのベクトル
V(A)=(a,b,c)
V(B)=(p,q,r)
の外積V(A)×V(B)=(x,y,z)を求める手順は、
■１．まず２つのベクトルを以下のように上下に並べて書く。
V(A)=(a,b,c)(a)
V(B)=(p,q,r)(p)
■２．求める成分の列を取り除いたものを2次の正方行列ととらえて行列式を求める(たすきがけ)。
ということです。最終的に
x = br - qc
y = cp - ar
z = aq - bp
となります。

●外積の性質ですが、行列と同じく、交換法則に注意が必要です。
V(A)×V(B) = -V(B)×V(A)
|V(A)×V(B)|=「V(A)とV(B)がなす平行四辺形」

外積の方向は物理学のフレミング左手の法則と同じです。

●試験での使用
途中の煩雑な計算をなくすために、計算用紙の中で使いましょう。答案として使うと大減点です。
＊＊＊＊＊

余談ですが…
四次元の外積もあるんです。やり方は同じ。ただし、四次元なのでw座標を加えます。
V(A)=(a,b,c,0)
V(B)=(p,q,r,0)
V(C)=(s,t,u,0)

この外積は
(0,0,0,w)
w = aqu + brs + cpt - art - bpu - cqs
となります。ややこしく見えますが、各項の掛けている順番を見てください。
a,b,c
p,q,r
s,t,u
を斜め方向にかけたものだと分かります。

で、これが何に使えるかですが、|w|がV(A),V(B),V(C)のなす平行6面体の体積になるので、三角錐の体積も求められます。

[7] mixiユーザー 08月23日 15:10

三角錐ABCDの体積Vは
AB↑=(a,b,c)
AC↑=(d,e,f)
AD↑=(g,h,i)
とおけば
　V = (1/3)|(AB↑×AC↑|)･AD↑|
　　= (1/3)|(AC↑×AD↑|)･AB↑|
　　= (1/3)|(AD↑×AB↑|)･AC↑|
　　= (aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg)/3

[10] mixiユーザー 08月26日 03:41

7:EARL さんのコメントに関連して,,,

まず、最初に、9:かみっちさんが指摘しているとおり、
係数は1/3ではなくて1/6ですね(;^_^A

AB↑=(a,b,c)
AC↑=(d,e,f)
AD↑=(g,h,i)

とおくとき
３次正方行列 X を次で定めましょう。

|a b c|
|d e f|
|g h i|

このとき行列 X の「行列式」（ det(X) と書かれる）という量が次の式で定義されます。

det(X)=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg

この量は３つのベクトル AB↑, AC↑, AD↑からできる平行六面体の符号付体積を表しています。

「符号付」というのはプラスになったりマイナスになったりするからです。
（これは右手系、左手系の違いによるのですが,,, 5:EARL さんがさらっと書いてくれている部分です）

ですから、平行六面体の体積を求めたいときは、
まず、行列式を計算して、
その後、絶対値を取れば、（通常の意味の）体積が計算できたことになります。
（三角錐の場合は、さらに1/6倍すればよいわけです）

さらに、行列式と外積、内積の間には

det(X)
= (AB↑×AC↑)･AD↑
= (AC↑×AD↑)･AB↑
= (AD↑×AB↑)･AC↑
= aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg

という関係が成り立ちますので、
これによって、行列式と外積がつながります。
その結果として、7:EARL さんのコメントしていることが得られるわけです。

[15] mixiユーザー 08月04日 23:30

浪人して、とある大学のフレッシュマンやってます。

現役時代に『大学の範囲だけど』といわれましたが、習いました。
その先生いわく、Ｔ大やＨ大レベルなら使用しても全く問題ないそうです
でも早慶含めて私文レベルになるとバツされるそうです。
浪人中も多用してました
浪人時代の先生は、範囲外だからダメと言う人もいれば、昔は範囲だったからOKと言う人もいました

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