これは、不正受給になると思います。

完全に不正受給です。
よ〜く読めば解ります。

2012.11 仕事が無くなる
2012.2 生活保護の受給決定
2012.3〜9　派遣会社で働く
2012.5〜2013.5　生活保護、受給期間
※働いた期間と受給期間が、5ヶ月間被ってますね。

つまり、受給開始された時には派遣会社で働いていたわけだから、不正受給になります。働いて得た収入分は返さないといけませんね。

あと、パソコンはいつ購入したかにもよりますね。
2012.3前に購入したのならば、受給費で購入したわけではないので、返還対象外になります。
2912.10から無職になったのならば、再度受給しても良いとは思いますが、失業保険も一緒だか、働いて得た収入は、受給出来ないのは当たり前なので、働いた事を申告しなかったのは、悪意があると思います。

求職活動はスマホ（ガラケーなら難しいが）で出来るし、収入申告は税務署で出来るから不要ですね。

■「ＰＣは人から借りられる」生活保護費の返還命じる判決
(朝日新聞デジタル - 11月27日 21:45)
http://news.mixi.jp/view_news.pl?media_id=168&from=diary&id=4878159