和と積が等しくなる数

さっきの計算をしていた時、漠然と２と２というのは、和と積が等しくなる数だということを再認識した。

このような整数のペアは０と０、２と２以外には無いはずだが、ちゃんとそれを証明できるかと考えてみた。

和と積が等しいということは、ａ＋ｂ＝ａｂであるということ。

この式を変形すると、ａｂ−ａ−ｂ＝０　更に変形して　ａｂ−ａ−ｂ＋１＝１　つまり、（ａ−１）（ｂ−１）＝１

つまり、和と積が等しい整数を求める問題は、掛けて１になる数のペアを求めて、そのペアに各々１を加えるという問題に還元できる。

この場合、どちらかが０なら掛けた結果も０になるし、それを除いた場合、どちらかの絶対値が２より大きければ、掛けた結果の絶対値も２より大きくなるので、結局絶対値が１のものしかあり得ないということになる。

つまり、掛けて１になる整数のペアは、１，１と−１，−１のみである。

よってそれに１を足せば、和と積が等しくなる整数のペアは、０，０と２，２しかないことが分かる。

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この問題は、整数に限定しなければ無限に解を持つ。

要するに逆数の関係にある２つの数を採って、それに各々１を足せばそのようなペアを作り出せる。

例えば２，１／２を使うと、３，３／２というペアができる。小数で書けば３と１．５である。実際、
３＋１．５＝４．５
３×１．５＝４．５

これを３，１／３を使えば、４，４／３というペア。実際、
４＋（４／３）＝（１２＋４）／３＝１６／３
４×（４／３）＝１６／３

また、−２，−１／２を使えば、−１，１／２というペアが出来る。小数で書けば−１と０．５である。実際
−１＋０．５＝−０．５
−１×０．５＝−０．５