-1の立方根

娘の宿題の数学の問題集を見ていたら、−１の立方根をωと書くことにして、なんてのがあったので、そんなものがあったなあというのを懐かしく思った。

ωと書いてしまうと、集合論が専門の私には「最小の無限集合」ωの方を連想してしまうので、この−１の立方根をωと書く流儀は忘れていた。

実際にωってｉを使って書いたら何だったっけ？というのも忘れていた。確か√３が出て来たはず、２分の何とかだったと思ったものの不確か。それで計算してみた。

−１の立方根というのは、つまりｘ＾３＝　−１となるということ。

つまりｘ＾３＋１＝０。

この方程式を解けば良いということに気づけばあとは簡単な問題。

高校生にはおなじみの公式（ａ＾３＋ｂ＾３）＝（ａ＋ｂ）（ａ＾２−ａｂ＋ｂ＾２）を使って変形する。

（ｘ＋１）（ｘ＾２−ｘ＋１）＝０

つまり、ｘ＋１＝０または、ｘ＾２−ｘ＋１＝０。

前者が「自明な解」−１をあらわす。後者が虚数解を与える。これは二次方程式の解の公式を使用する。

Ｄ＝１−４＝−３

よってｘ＝（１±√（−３））／２　＝　（１±ｉ√３）／２

実際計算してみると分子が、（１＋ｉ√３）＾３＝（１＋３ｉ√３＋３ｉ＾２（√３）＾２＋ｉ＾３（√３）＾３）
＝（１＋３ｉ√３−３・３−ｉ・３・（√３））＝１−９＝　−８
分母が８だから、ちゃんと−１になっているのが分かる。

マイナスの方は符合を変えただけだから、同じ計算結果になるのは自明。
（大学の数学の授業なら教官が trivial と一言書くだけ）