三角形ができる確率

Facebookに入社したい？面接で聞かれた質問「テレビのリモコンの機能を変えられるとしたら、どこをどう改善しますか？」
http://news.mixi.jp/view_news.pl?media_id=121&from=diary&id=3378788

＞「長さを1とする直線上に、2つの点を無作為において出来る3つの線分によって、三角形が出来る確率を答えなさい」（募集職業：商品アナリスト）

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三角形ができる確率ですが、２点で区切られた３つの線分の長さが全て1/2より小さければ良いという条件に気付けば後はそんなに難しくないです。中学３年生程度の問題だと思う。

２つの点をx1, x2 とします。この条件は

a. min(x1, x2)< 1/2
b. 1-max(x1, x2)< 1/2
c. max(x1,x2) - min(x1,x2) < 1/2

と書けます。a,b で、x1,x2のところに-1/2を加えると

a1. min(x1-1/2, x2-1/2) < 0
b1. 1 - max(x1-1/2, x2-1/2) - (+ 1/2) < 1/2

b1は式を整理すると

b2. max(x1-1/2, x2-1/2) > 0

となるので、a1,b1は次の式と等価です。

ab. (x1-1/2)(x2-1/2) < 0

またcは x1<x2 の場合と x1>=x2の場合に分けて考えると、↓の式と等価であることが分かります。

c1. |x1-x2|< 1/2

このabおよびc1が成り立つ確率は、x1,x2を軸とする直交座標系で図を描くと下記の部分ということになります。



もう少し詳しく書くと



従って答えは1/4です。

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正直な話、これを暗算で答え出せる人は、ちょっと距離を置いて眺めていたいです。