開成中学入試問題・解答編

前の日記の続き。次の日も考えてみたんだけど、結局僕と奥さんだけでは小学生の回答は導き出せませんでした。
透くんが塾で先生に聞いてみたら「『等積変形』を使うと教えてくれたんだ」とのこと。
同じ面積で変な形、じゃなくて形が変わっても同じ面積、ですね。

辺AEを垂直に線を引くのは悪くなかったけど、それを辺CDまで引いてしまって、その点Gから点Aまで線を引くと三角形ABGができます。


この三角形ABGと三角形ABDは同じ高さだから同じ面積ということ。おー、これは思いつかなかった。


ここから小学生の知識を使って各辺の長さを求めます。
１．三角形ABEと三角形BFEはどちらも直角三角形で角AEBが同じだから、角BAEと角EBFは共に30度で三角形ABEと三角形BFEは相似形。
２．辺BFは最初に思いついた通り5センチ。
３．だから辺AE：辺BEと辺BF：辺EFは同じ比率だから10：5＝5：辺EF、なので辺EFは2.5センチで辺AEは10センチだから、辺AFは10-2.5で7.5センチ。
４．三角形BCGも角FBEが30度だから相似形の直角三角形で、つまり三角形ABEと三角形BCGは合同、よって辺BGは10センチ。
５．辺BGは10センチ、辺AFは7.5センチなので、三角形ABGの面積は10センチx7.5センチ÷2で37.5平方センチメートル。
６．三角形ABGと三角形ABDは高さが同じ三角形なので等積変形で同じ面積
７．三角形ABDは正方形ABCDの半分なので、正方形ABCDの面積は三角形ABDの2倍だから37.5x2＝75平方センチメートル。

おー、解けた。
何とか解けたけど、これを制限時間内の大問の一つとして解くのは、やっぱり相当な慣れが必要ですね。