電源が入ってないスマホでは　電話の着信履歴は残らず。😀

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「スマホの着信記録は(電話 電源が入っていないと 残りませんか?」のAI回答
電源が完全にオフの間にかかってきた電話は、多くのスマホでは本体の着信履歴には残りません。ただし、キャリア側のサービスでSMS通知などが来る場合があります。

電源オフ時の着信履歴の基本

iPhoneやAndroidでは、電源オフ・圏外中は端末が着信を受け取れないため、標準の電話アプリの不在着信履歴が残らないことがあります。(luft.co.jp)
実際に、iPhoneのFAQなどでも「電源を切っている間や圏外で受けた着信履歴は表示されない」と案内されています。(softbank.jp)
代わりに残るもの（キャリアサービス）

ドコモなどは「着信通知サービス」などの名称で、電源OFF・圏外時の着信をSMSで知らせるサービスを提供しています。(docomo.ne.jp)
ソフトバンクの「着信お知らせ」なども、電源OFFや圏外時の着信をSMS等で通知する仕組みがあります。(softbank.jp)
楽天モバイルでも、電源オフや圏外のときは相手にガイダンスが流れ、復帰後にSMSで着信があったことを知らせるケースがあります。(community.mobile.rakuten.net)
例外・注意点

一部の古い携帯電話機（ガラケー）では、「電源を切っても既に残っている着信履歴は消えない」とマニュアルに記載されている機種もあります。(softbank.jp)
ただしこれは「電源オフ前までの履歴が消えない」という意味であり、「電源オフ中に新たにかかってきた電話が自動で履歴に追加される」という意味ではありません。(everyday-trivia.hateblo.jp)
まとめ

スマホの電源が入っていない間の着信は、通常は本体の着信履歴には残りません。
代わりに、キャリアの「着信通知」「電源OFF時着信お知らせ」などのサービスでSMS通知として確認できる場合があります。
詳細は利用中の携帯会社の公式サイトや契約内容で最新情報を確認してください。
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