- 詳細 2022年6月2日 04:57更新
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基礎論以外の数学の分野の数学者が、自分の研究対象のリアリティーを疑うことがあるだろうか？
数や図形あるいは抽象概念であっても、草木や花、山や海と同じ程度の実在性を感じているものなのである。
この「リアリズム」と呼ばれる考えかたのメリットは、対象を記述する理論の無矛盾性をあまり気にしなくても良いという点である。
何故なら、この世界に「実在」しているものが矛盾をしているはずは無いのだから、その対象をそのまま自然に記述すれば、理論の方も矛盾はしていないだろうと考えられる。
もし理論が矛盾していれば「理論」が悪いのだから、「良い理論」を探せば良いだけのことである。
しかしこの「リアリズム」の方法は、基礎論の世界で実行しようとすると、うまく行かない気配がすることが分かって来たのだ。
基礎論の対象の一つである「集合」について数学者は最初全く気楽に、「集合」という自然な概念と、「ｘはｙの要素である」をそのまま記号に書き写した論理式「ｘ∈ｙ」で記述された「素朴集合論＝ＮＳ」が矛盾などしていないだろうと想像していたのだった。
この予想はＲｕｓｓｅｌによって実にあっさりと否定された。
ラッセルの矛盾をＮＳで表現するとこのようになる。
＊ＮＳはnaive set theoryの頭文字。
∀a a ∈ Ｒ ⇔ ¬ a ∈ a
この論理式を自然言語で表現すると「クラスＲの要素であることは、自分を要素としないことである」となる。
クラスＲは自分を要素としないクラスを全部集めたクラスである、と言うことも出来る。
ここで、変数aにＲを代入してみると。
a＝Ｒ とすると、
Ｒ ∈ Ｒ ⇔ ¬ Ｒ ∈ Ｒ
これはある命題とその否定が等価ということだから矛盾。
こうして、何がＺＦの「対象」＝Ｓｅｔであるのか、を公理によって正確に記述し、無防備にＳｅｔの範囲を広げて矛盾にぶつかったりしない方法が取られることとなった。
さらにＧｅｄｅｌによって「自然数を表現可能な体系はそれ自体の無矛盾性を示せない」ことが証明されてしまい、現時点で「ＺＦ集合論の無矛盾性」を問われれば、「ただ無矛盾であることを祈るのみ」というかなり寂しい事態になっているのである。
もともと数学の概念は人が創造したものなのだから、それ等にリアリティーは無く、対象を記述する理論の無矛盾性には、よく注意して議論を進めるのが本来のあり方だという考え方がある。
これは「形式主義」と呼ばれる立場であり、基礎論の世界の中だけではかなり優勢な意見なのだが、基礎論以外の分野の数学者の「形式主義」にたいする意見は、ここだけの話であるが、好意のあるものではない。
「自由クラス」コミュでは全く矛盾しないと思える体系「ＦＣ」について解説し、基礎論の世界に再び「リアリズム」を取り戻したい。
ＦＣ入門 ；
「小林さんとの議論 １−４」
マイミクの一人小林泰三氏と掲示板で議論したものを編集しました。
画像は、さくら学院ＯＧの最愛さん
スーガクがお好きなようです
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