「自由クラス理論」非標準集合論コミュのＭＬの表現

　「Ａ，Ｂ，Ｃ‥‥」　→　「α、β、γ‥‥」
　「ｍａ」　　　　　　→　「ｍ」

　［　ＭＬのＦＣへの表現　］
　　　　　　　　　　　　
　ＭＬの場合も同じようにＯｂｊを定義することによってＦＣへの表現が得られます。

　なおＭＬとは、クワインがラッセルの「型理論」をもとにして作った、扱いやすい洗練された形式のクラス理論です。
　「型理論」においては、さまざまな集合が異なる階層に「層別化」され、となりの階層に属する集合のあいだにだけ「∈」の関係が存在しうるとするのに対して、ＭＬにおいては、「対象」を定義する論理式たちが「層別化」されています。
　すなわち、論理式は必ずとなりの階層のクラスについて記述していると読むことが可能な構造になっています。

　ＭＬの集合の定義は、次のようなものです。

　　　　Ｓｅｔ*　ｂ　　Ｄｆ．　　ｂの定義式に現れるすべてのｘ∈ｙに対して、ｆ（ｘ）＋１＝ｆ（ｙ）となるように、クラスの変数からＮへの関数が定義できる

　例　：　ラッセルのクラスＲ　
　　　　∀ｂ　ｂ∈Ｒ　⇔　￢（ｂ∈ｂ）
　　　　任意のｆにたいして、ｂ∈ｂに対応した式は、ｆ（ｂ）＋１＝ｆ（ｂ）となり矛盾
　　　　ゆえに、クラスＲはＭＬのＳｅｔ*ではない

　ＭＬのＦＣへの表現は、「Ｓｅｔ*」を「Ｏｂｊ」に代えて、「ｘ∈ｙ」をＦＣの論理式で記述すればよいわけです。

　　　　Ｏｂｊａ　　Ｄｆ．　　ａの定義式に現れるすべての∃α ｘ∈α ∧ α ｍｙに対して、ｆ（ｘ）＋１＝ｆ（ｙ）となるようにクラス変数からＮへの関数が定義できる
　
　これによって、ＭＬの空クラス０や全クラスＵはＯｂｊであり、Ｃｌであることが分かります。

　また、ＭＬには個体が存在します。
　例えば、つぎのようなクラスＵ’を考えると、
　
　　　　α ｍＵ’∧
　　　　∀ａ　ａ∈α　⇔　ａ＝ａ　　　
　　　　Ｕの定義式には、さらに右辺にＯｂｊ　ａが必要
　
　　　　この集まりαには、ＲなどのＯｂｊではないクラスが要素として存在します。
　　　　従って　￢Ａｔ　α　ゆえに　￢Ｃｌ　Ｕ’　　［Ａ．Ｃｌ］
　　　　Ｕ‘の定義式には「∈」がないので、　Ｏｂｊ　Ｕ’ゆえに
　　　　Ｉｎｄ　Ｕ’

　Ａ．Ｃｌ　　Ｃｌ　ｋ　⇒　（∀β　β　ｍ　ｋ　⇒　Ａｔ　β）
　
　
　Ｉｎｄなクラスが存在するという性質は、ＭＬを他の集合論から区別する性質の一つとなります。
　例えば、∀ａ　Ｓｅｔ　ａ　⇒　Ｏｂｊ　ａ　が成り立つような集合論には個体が存在しません。
　　　　