「自由クラス理論」非標準集合論コミュのクラス理論の表現　つづき

　昔書いた解説です。
　変数ＡＢＣ→α、β、γ
　述語「ｍａ」→「ｍ」
　となっています。

　［いろいろな集合論のＦＣへの表現］

　あるクラスの性質がいろいろな集合論に対して、どのように相対的なものであるかを具体的に見ることにする。
　
　ＺＦにおける全クラスの定義は次のようになる、
　　　　∀ａ　ａ∈α_0　⇔　Ｏｂｊ　ａ　　
　　　　α_0 ｍＵ　　　　　　　　　　　　　　　　－（１）
　要素とみなすクラスすべてを集めた「集まりα_0」の作るＵが、全クラスである。
　　　　ａ＝Ｕとすると、
　　　　　　　Ｕ∈α_0　⇔　Ｏｂｊ　Ｕ　となり、　
　　　　もし、Ｕ∈α_0　が真ならば、　１式とあわせて
　　　　　　　￢Ｓｅｔ　Ｕ　と　Ｏｂｊ　Ｕ　が真となる。　－（２）
　　　　ところで、ＺＦの正則性の公理からは　∀ａ　￢ａ∈ａ　がえられる。
　　　　クラスはすべてＳｅｔである、というのであるから、
　　　　∀ａ　Ｃｌ　ａ　⇒　Ｓｅｔ　ａ　　　　－（３）
　　　　なお、Ａｔ　α_0 より　ＣＩ　Ｕ　従って、　３式より、
　　　　　　　Ｓｅｔ　Ｕ　
　　　　しかし、これは　２　の結論に反する。ゆえに、
　　　　　　　Ｕ∈α0　は偽であり、￢Ｏｂｊ　Ｕがえられる。
　　　　　　　Ｃｌ　Ｕ　∧　￢Ｏｂｊ　Ｕ　であるから、
　　　　　　　Ｐｒｃｌ　Ｕ　となる。　　　　　－（４）
　
　一方、クワインのＭＬにおいては全クラスはどのようなものだろうか。
　
　同じように、全クラスとは要素となりうるクラスをすべて集めたＡｔによって作られるクラスであるから、
　　　　∀ａ　ａ∈α_1　⇔　Ｏｂｊａ　　　　
　　　　　　　α_1　ｍ　Ｕ　　　　　　　　　
　
　クワインはＭＬのクラスの中、要素となるのはＥｌｅｍｅｎｔ　Ｈｏｏｄを持つもの、としているが、これはＦＣのＯｂｊと同じ概念である。（Ｅｌｅと略する。）
　そして、その定義はつぎのとおり、
　　　　Ｅｌｅ　ｘ　　Ｄｆ．ｘの定義式が層別化されている
　　　　層別化とは、定義式に現れるすべての変数からＺへの関数ｆがあって、定義式の全てのａ∈ｂという形の論理式に対して、ｆ（ａ）＋１＝ｆ（ｂ）とできること。
　
　これをＦＣの式になおすと、
　　　　Ｏｂｊ　ｘ　Ｄｆ．ｘの定義にあるすべての∃α　ａ∈α　∧　α ｍｂ　の形の式について、ｆ（ａ）＋１＝ｆ（ｂ）となるｆがある。
　　　　Ｅｘ．　￢Ｏｂｊ　Ｒ
　　　　　　　∀ａ　ａ∈β_0　⇔　￢（∃α　ａ∈α　∧　α ｍａ）
　　　　　　　β_0 ｍＲ　
　　　　　　　右辺の定義式に対して、ｆ（ａ）＋１＝ｆ（ａ）は不可能。
　
　さて、ＭＬのＵの定義式には、∈のある式はないので始めから層別化されている。
　すなわち、
　　　　Ｏｂｊ　Ｕ
　ＺＦのＵがＰｒｃｌであるのとは異なっている。
　
　このように、Ｏｂｊを定義すると、集合論が一つ定まり、それによってＣｌ、Ｉｎｄ、
Ｐｒｃｌなどが決まってゆく。
　すなわち、ＦＣへのある集合論の表現とは、
　　　　″Ｏｂｊの定義をＦＣの論理式で記述すること″
　となる。