首都大学東京物理学コースコミュの情報物理

ばねに繋がれた三つの粒子の運動

粒子1，2，3の変位をそれぞれx1，x2，x3とし、ばね定数をｋ、粒子の質量をｍとする。

自由端で周期的境界条件のもと問題を解きます。なぜならそれが一番楽だから。

まず自由端では

　　(dt)^2x1＝-(k/m)x1 + (k/m)x2
　　(dt)^2x2＝ (k/m)x1 - (2k/m)x2 + (k/m)x3
　　(dt)^2x3＝ (k/m)x2 - (k/m)x3
(dt)^2 →　時間の二階微分

が成り立つ。
x1の二階時間微分の式にx2が入っていたりは嫌なのでそれを何とかしたい。ので何とかする。
これら三つの式をまとめると

　　(dt)^2Ｘ＝ (k/m)ＭＸ･･･?
Ｘ＝ (x1, x2, x3 )^(-1) ←行列
　　
Ｍの固有値を出すと0，-1，-3となる。
これらに対応する固有ベクトルp1，p2，p3を出す。
それらの組み合わせを

　　Ｕ　＝　（ p1 p2 p3 )

として3×3行列を作る。
また　逆行列　Ｕ^(-1)　も求める。

ＵとＵ^(-1)によってＭを対角化し、それをＭ'とする。

?式に左からＵ^(-1)をかけると

　　(dt)^2｛Ｕ^(-1)Ｘ｝＝ (k/m)Ｕ^(-1)ＭＵ｛Ｕ^(-1)Ｘ｝

　　(dt)^2｛Ｕ^(-1)Ｘ｝＝ (k/m)Ｍ'｛Ｕ^(-1)Ｘ｝

ここで
　　　　　　　　　　　
　　｛Ｕ^(-1)Ｘ｝＝　(y1, y2, y3)^(-1)　･･･?
　　　　　　　　　　　
とおくと、

　　(dt)^2(y1, y2, y3)^(-1)＝　(k/m)Ｍ'(y1, y2, y3)^(-1)

Ｍ'は対角成分のみなのでy1、y2、y3それぞれの二階微分方程式として解ける。
解くと
　　
　　y1　＝Ｃ
　　y2　＝　Ａcos(√(3k/m)t ＋ α)
　　y3　＝　Ｂcos(√(k/m)t ＋ β)
Ａ，Ｂ，Ｃ，α，βは任意定数。α，βは初期条件によって決定する。

となる。
?式の左からＵをかけて、

　　Ｘ　＝　Ｕ(y1, y2, y3)^(-1)
＝　Ｕ( Ｃ, Ａcos(√(3k/m)t ＋ α), Ｂcos(√(k/m)t ＋ β))

となる。よって

　　x1　＝　　Ａcos(√(3k/m)t ＋ α)　－　Ｂcos(√(k/m)t ＋ β)　＋　Ｃ
　　x2　＝　-2Ａcos(√(3k/m)t ＋ α) ＋　Ｃ
　　x3　＝　　Ａcos(√(3k/m)t ＋ α)　＋　Ｂcos(√(k/m)t ＋ β)　＋　Ｃ

となるのだが、周期的境界条件により　x1 ＝ x3　とならなければいけないので　Ｂ＝０　である。

つまり

　　x1　＝　　Ａcos(√(3k/m)t ＋ α)　＋　Ｃ
　　x2　＝　-2Ａcos(√(3k/m)t ＋ α) ＋　Ｃ
　　x3　＝　　Ａcos(√(3k/m)t ＋ α)　＋　Ｃ

となる。

Ａ＝1/3　Ｃ＝1/3　α＝π　だとルンゲクッタのプログラムと一致します。

mixiは空白がちゃんと入れられないので、途中の固有ベクトルとかきちんと書きたかったんだけど諦めました。
誰か確認よろしく。