大学理系では、1・2年次に「解析学」と「線型代数」を並行してやることが多いと思います。
「解析学」はおおざっぱに言えば、高校数学の「微分・積分」の延長ですね。
現在の高校のカリキュラムでは「微分・積分」という言葉は「数学�供廚任呂犬瓩峠个討�て、その基本を学び、理系選択者の多くが「数学�掘廚任修譴砲弔い討気蕕乏悗咾泙后�
高校の「微分・積分」と大学の「解析学」の大きな違いは何でしょうか？
数学専攻ですと「極限」を厳密に取り扱うために、まず１年次でいわゆる「イプシロン・デルタ論法」を理解するよう求められ、それに骨が折れる学生も多いようですけど、最近は数学専攻以外ではそこを厳しく言われることは少なくなっているとか。
ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊
むしろ個人的には、大学の「解析学」で「微積分学の基本定理」という呼び名で定着している次の
【定理】f ( x ) が実数の区間 I で連続ならば、c, x ∈ I に対し
F ( x ) = ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt は、I における f ( x ) の原始関数である、すなわち：
d/dx ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt = f ( x ) .
（つまり ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt = F ( x ) - F ( c ) が成り立つ ）
が、高校の「微分・積分」との大きな違いとも感じられます。
高校ではまず「微分すると f ( x ) になる関数 F ( x ) を f ( x ) の原始関数とよぶ」と定義し、そのまま
【定義】F ( b ) - F ( a ) のことを f ( x ) の a から b までの定積分とよび、それを
∫ [ from a to b ] f ( x ) dx で表す。
となっています。高校では「定積分の定義」だったものが、大学では「証明すべき定理」になっている。そして大学での「定積分の定義」は極限を用いた少々面倒なもので、高校ではそちらは「区分求積法」という「定積分のやや高度な応用」として教えていたり・・
ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊
そんな堅苦しい話でなくとも、解析に関わること、思い出でもなんでも書いていただけると幸いです
m(_ _)m
「解析学」はおおざっぱに言えば、高校数学の「微分・積分」の延長ですね。
現在の高校のカリキュラムでは「微分・積分」という言葉は「数学�供廚任呂犬瓩峠个討�て、その基本を学び、理系選択者の多くが「数学�掘廚任修譴砲弔い討気蕕乏悗咾泙后�
高校の「微分・積分」と大学の「解析学」の大きな違いは何でしょうか？
数学専攻ですと「極限」を厳密に取り扱うために、まず１年次でいわゆる「イプシロン・デルタ論法」を理解するよう求められ、それに骨が折れる学生も多いようですけど、最近は数学専攻以外ではそこを厳しく言われることは少なくなっているとか。
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むしろ個人的には、大学の「解析学」で「微積分学の基本定理」という呼び名で定着している次の
【定理】f ( x ) が実数の区間 I で連続ならば、c, x ∈ I に対し
F ( x ) = ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt は、I における f ( x ) の原始関数である、すなわち：
d/dx ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt = f ( x ) .
（つまり ∫ [ from c to x ] f ( t ) dt = F ( x ) - F ( c ) が成り立つ ）
が、高校の「微分・積分」との大きな違いとも感じられます。
高校ではまず「微分すると f ( x ) になる関数 F ( x ) を f ( x ) の原始関数とよぶ」と定義し、そのまま
【定義】F ( b ) - F ( a ) のことを f ( x ) の a から b までの定積分とよび、それを
∫ [ from a to b ] f ( x ) dx で表す。
となっています。高校では「定積分の定義」だったものが、大学では「証明すべき定理」になっている。そして大学での「定積分の定義」は極限を用いた少々面倒なもので、高校ではそちらは「区分求積法」という「定積分のやや高度な応用」として教えていたり・・
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そんな堅苦しい話でなくとも、解析に関わること、思い出でもなんでも書いていただけると幸いです
m(_ _)m
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コメント(5)
ちょっと頭がボンヤリしているので、すこしイプシロン・デルタ論法の復習をしたくなりました
関数 f (x) が x = a で連続であることを示すのには
任意の ε ＞０に対し
| x - a | < δ ⇒ | f (x) - f (a) | < ε
であるような δ ＞０がとれることを示せばよいのでした
関数 f (x) によって δ の取り方に工夫がいりますね。
● f (x) = x^2 が x = 0 で連続であること：
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < √ε ととれば
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | < δ^2 < ε でよい
● -1 < x < 1 で定義された関数
f (x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + ... が x = 0 で連続であること：
f (x) = x / ( 1-x ) であることからちょっとその辺にメモして
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < ε / ( 1+ε ) ととると
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | = | x / ( 1-x ) | < δ / ( 1-δ ) < ε でよい
● x > -1 で定義された関数 f (x) = log ( 1+x ) が x = 0 で連続であること：
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < e^ε -1 ととると
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | = log ( 1+x ) < log ( 1+δ )
< log ( 1+e^ε -1 ) = ε でよい
etc.
関数 f (x) が x = a で連続であることを示すのには
任意の ε ＞０に対し
| x - a | < δ ⇒ | f (x) - f (a) | < ε
であるような δ ＞０がとれることを示せばよいのでした
関数 f (x) によって δ の取り方に工夫がいりますね。
● f (x) = x^2 が x = 0 で連続であること：
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < √ε ととれば
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | < δ^2 < ε でよい
● -1 < x < 1 で定義された関数
f (x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + ... が x = 0 で連続であること：
f (x) = x / ( 1-x ) であることからちょっとその辺にメモして
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < ε / ( 1+ε ) ととると
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | = | x / ( 1-x ) | < δ / ( 1-δ ) < ε でよい
● x > -1 で定義された関数 f (x) = log ( 1+x ) が x = 0 で連続であること：
任意の ε ＞０に対し 0 < δ < e^ε -1 ととると
| x | < δ ⇒ | f (x) - f (0) | = log ( 1+x ) < log ( 1+δ )
< log ( 1+e^ε -1 ) = ε でよい
etc.
1変数関数といっても曲線のグラフで表されないものがあります。
●たとえば開区間 (0, 1) で（つまり 0 < x < 1 で）定義された関数 f (x) を
x = a が有理数のとき f (a) = 1,
x = a が無理数のとき f (a) = 0
なるものとすると、f (x) は「定義域のすべての点で連続でない関数」となり、普通のグラフでは描けない関数です
●ただ普通のグラフでは描きがたい関数でも、次のような例もあります：
開区間 (0, 1) で定義された関数 f (x) を
x = a が有理数 p/q（既約分数）のとき f (a) = 1/q,
x = a が無理数のとき f (a) = 0
なるものとすると、f (x) は「有理点で不連続、非有理点で連続な関数」です（＊）
（高木貞治『解析概論』の練習問題にあるのですが、やや面倒）
◎そしてこれとは逆に
開区間 (0, 1) で定義された関数 f (x)で
「有理点で連続、非有理点で不連続なものが存在するか？」
というのが以前 mixi のコミュニティ「数学」で話題となったことがあって
あるかたが一週間ぐらい考えて「そのような関数は存在しない」という証明を述べられました。けっこう複雑な証明で方針も忘れてしまいましたが・・
「連続関数」といっても時として奥が深いようです
●たとえば開区間 (0, 1) で（つまり 0 < x < 1 で）定義された関数 f (x) を
x = a が有理数のとき f (a) = 1,
x = a が無理数のとき f (a) = 0
なるものとすると、f (x) は「定義域のすべての点で連続でない関数」となり、普通のグラフでは描けない関数です
●ただ普通のグラフでは描きがたい関数でも、次のような例もあります：
開区間 (0, 1) で定義された関数 f (x) を
x = a が有理数 p/q（既約分数）のとき f (a) = 1/q,
x = a が無理数のとき f (a) = 0
なるものとすると、f (x) は「有理点で不連続、非有理点で連続な関数」です（＊）
（高木貞治『解析概論』の練習問題にあるのですが、やや面倒）
◎そしてこれとは逆に
開区間 (0, 1) で定義された関数 f (x)で
「有理点で連続、非有理点で不連続なものが存在するか？」
というのが以前 mixi のコミュニティ「数学」で話題となったことがあって
あるかたが一週間ぐらい考えて「そのような関数は存在しない」という証明を述べられました。けっこう複雑な証明で方針も忘れてしまいましたが・・
「連続関数」といっても時として奥が深いようです
単純な関数の積分が意外に求めにくいことがありますね。
きょう解析学の教科書をパラパラめくっていたら
∫ √( x^2 + a ) dx = 1/2 { x √( x^2 + a ) + a log | x +√( x^2 + a )| } （★）
というのが載っていました。
私は持っていないのですが、こうした式は必要に応じて関数電卓で求めるものでしょうか？
この不定積分を使うと、たとえば放物線の長さが求められます。
y = x^2 のグラフの x = 0 から x = 1 までの部分の長さを求めるなら
dy/dx = 2x
なので
∫ [ from x = 0 to 1 ] √ ( 1 + ( 2x )^2 ) dx
= ∫ [ from x = 0 to 1 ] √ ( 1 + 4x^2 ) dx
x = t/2 と変数変換すると
上式 = 1/2 ∫ [ from t = 0 to 2 ] √ ( t^2 + 1 ) dt
（★）によって
1/2 ∫ √ ( t^2 + 1 ) dt
= 1/4 { t √( t^2 + 1 ) + log | t + √( t^2 + 1 )| }
これを F ( t ) とすると、求める長さは
F ( 2 ) - F ( 0 ) = 1/4 ( 2√5 + log ( 2 + √5 ) - 0
= √5 /2 + 1/4 log ( 2 + √5 ) .
ちょっと複雑な値ですね
きょう解析学の教科書をパラパラめくっていたら
∫ √( x^2 + a ) dx = 1/2 { x √( x^2 + a ) + a log | x +√( x^2 + a )| } （★）
というのが載っていました。
私は持っていないのですが、こうした式は必要に応じて関数電卓で求めるものでしょうか？
この不定積分を使うと、たとえば放物線の長さが求められます。
y = x^2 のグラフの x = 0 から x = 1 までの部分の長さを求めるなら
dy/dx = 2x
なので
∫ [ from x = 0 to 1 ] √ ( 1 + ( 2x )^2 ) dx
= ∫ [ from x = 0 to 1 ] √ ( 1 + 4x^2 ) dx
x = t/2 と変数変換すると
上式 = 1/2 ∫ [ from t = 0 to 2 ] √ ( t^2 + 1 ) dt
（★）によって
1/2 ∫ √ ( t^2 + 1 ) dt
= 1/4 { t √( t^2 + 1 ) + log | t + √( t^2 + 1 )| }
これを F ( t ) とすると、求める長さは
F ( 2 ) - F ( 0 ) = 1/4 ( 2√5 + log ( 2 + √5 ) - 0
= √5 /2 + 1/4 log ( 2 + √5 ) .
ちょっと複雑な値ですね
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