めがねまたは数学コミュの●疑問

疑問に思ったことを書くトピック。
もし未解決問題（ open problem )ならやりがいがあるんですが
すでに解決済みかも？という疑念があっても結構です。

というのも仮に解決済みであっても、サッと調べて「そんなのここに答えがのってますよ」とその解答・解決法が載っているリンクを貼り付けて終わり、というのでは発展性のある議論が出来なくて面白くないと思うんです

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 07月17日 00:11

素数を小さい順から p_1, p_2, p_3, ... としたとき
（つまり p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, ... ）

　Σ [ k = 1 to ∞ ] 1/ p_k　　（★）

が無限大に発散することはオイラーによって発見され、その証明法もネットで「素数の逆数和」で検索すれば何種類も出てくるようです。
　では（★）の和をプラスマイナス交互に取ったら収束するんでしょうか？
　つまり

　1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/11 - 1/13 + ...
= Σ [ k = 1 to ∞ ] ( -1)^( k-1)/ p_k　　　（★★）

は収束するか、収束するとすればその極限値は何か。
自分でしばらく考えて分からなかったので急に思いついて、ここに書いてみました・・

　1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...

が log 2 に収束することが

　log ( 1+ x ) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

であることから従うので、（★★）も収束しそうに思うんですけど、どう示せばいいのか分かりません・・

[2] mixiユーザー 07月17日 04:00

勤め先の学習塾の小学5年の問題で

　1/18 = 1/a + 1/b

を満たす自然数んペア a, b ( a<b )を 4 組見つけよ、というのがありました。
系統的に見つける方法がいまいち分からないでいます。。

[3] mixiユーザー 07月31日 05:05

>2 に対して、小学生向きではないかもしれませんが、系統的に解を求める方法を思いつきました。
まず与えられた式

　1/18 = 1/a + 1/b　　（★）

の両辺を 18ab 倍して

　ab = 18( a + b )

右辺を移項して

　- 18( a + b ) + ab = 0

ここで両辺に 18^2 を加える。

　18^2 - 18( a + b ) + ab = 18^2 .

ここで中学3年で習う「因数分解」を知っていれば、この式は

　( 18 - a )( 18 - b ) = 18^2

と変形できる。この式は

　( a - 18 )( b - 18 ) = 18^2　　（★★）

と書くこともできる。a < b より、 a -18 < b - 18 であり、かつ
a - 18 と b - 18 が掛けて　18^2 = 2^2 × 3^4 = 324 になる場合は

(i) a -18 = 2, b -18 = 162　のとき
　a = 20, b = 180.
(ii) a -18 = 3, b -18 = 108　のとき
　a = 21, b = 126.
(iii) a -18 = 4, b -18 = 81 のとき
　a = 22, b = 99.
(iv) a -18 = 9, b -18 = 36 のとき
　a = 27, b = 54.
(v) a -18 = 6 , b -18 = 54 のとき
　a = 24 , b = 72.
(vi) a -18 = 12, b -18 =27 のとき
　a = 30, b = 45.　

に限られ、よって
これで自然数 a, b（ただし a < b ）で（★★）を満たすものは尽くされる。
つまり元の式（★）を満たす自然数の組 ( a, b )（ただし a < b ）は以下の６組である：

　( a, b ) = ( 20, 180 ), ( 21, 126 ), ( 22, 99 ),
　　　　　　( 27, 54 ), ( 24, 72 ), ( 30, 45 ).　　□

[4] mixiユーザー 07月31日 22:56

>>[3]

上手い方法ですね。これなら簡単に見つけられます。
でも（a,b)=（19,342）が抜けてませんか?

[5] mixiユーザー 07月31日 23:17

>>[4]

確かに・・！
(vii) a - 18 = 1, b - 18 = 324
の場合を考えていませんでした。
ありがとうございます。

この問題、職場の学習塾に来ている小学5年の生徒がしばらく前に持ってきて頭を悩ませていたんです。日本で最難関の私立中学入試を視野に置くような生徒ですが、こんな解法しかない問題ならどこの中学入試にもまず出ないだろう、という話に今日なったんですが・・

[7] mixiユーザー 08月01日 09:11

僕が思うに、18＜aに気づくことが出題意図かと思います。そこから単純計算で連続で19,20,21,22が求まりますから、4組というのもうなずけます。

[8] mixiユーザー 08月02日 00:41

>>[7]

言われてみれば本当にそうですね・・
その生徒も当初から 18 < a < b には気づいていて、しかしおそらくやみくもな試行錯誤の末に４組の解を見つけていたようです。で、もっと確かな解法を知りたい、ということでその生徒と何度か議論したのですが「a = 19, 20, 21, 22 を順に代入して対応する b の値を求める」という、至ってシンプルな考えになぜ思い至らなかったのか不思議です・・

すっきりしました。

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