微分方程式コミュの質問です。よろしくおねがいします。

はじめまして。微分方程式についての質問があります。
このトピックが不適切であった場合は即削除しますので、管理人様よろしくおねがいします。

以下の問題が解けません。解答していただける方よろしくおねがいします。

平面上に次のようなパラメータ表示された曲線Cがある。
　C:x=cosθ+θsinθ，y=sinθ-θcosθ　　　(θ≧0)
いま動点Pはt=0でC上の点(1，0)を出発し，C上を運動していく。ただし，Pの速さはその時点での原点Oからの距離の逆数に比例するものとする（比例定数d）。すなわち，v=d/OPとする。このとき，時刻tにおけるPの原点からの距離を求め，さらに時刻0から時刻tの間に移動した距離を求めよ。

答え.　OP=(1+3dt)1/3乗　　　移動した距離={1/2(1+3dt)2/3乗-1/2}

この問題に関しては何時間かかっても答えにたどりつけません。
自分の実力不足は承知の上です。
すみませんが、よろしくおねがいします。

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 11月13日 00:04

時刻tにおける点Pの位置を，
曲線Cのパラメータ表示でパラメータθにθ(t)を代入したものとしましょう．
このパラメータが時間に依存すると考えます．

これを用いて，時刻tにおけるOPの長さ，
Pの速度ベクトル（Pの位置を表す各座標をtで微分して並べたベクトル）と
その大きさ（＝速さ）を求めましょう．

それらの結果を，v=d/OPという条件式に代入することでθ(t)に対する微分方程式が得られます．
これは変数分離で解ける形になっているはずです．

大体の流れを説明しましたが，
手を動かしてみて行き詰ったところがあればご遠慮なくコメントください．

[2] mixiユーザー 11月13日 19:37

ありがとうございます。

途中ですが、
v=θ(t)・dθ/dt
OP=√1+θ(t)2乗

となりました。

ここからv=d/OPに代入しましたが、分母にtが出てくる形になり問題の答えに適していない形になってしまいました。

そもそもv，OPの値がまちがっているのでしょうか。変数分離での計算ミスでしょうか。

ご指摘いただければよろしくおねがいします。

[3] mixiユーザー 11月13日 20:24

たぶん変数分離での計算ミスだと思われます．

v=d/OP
をθ(t)に関する微分方程式にしてから
(θの入った式)=d
と変形してみましょう．
その両辺をtで[0,T]上積分します．
この処理は変数分離と同じ計算です．

[4] mixiユーザー 11月13日 22:07

計算ミスでした。
左辺のθでの積分を間違えていました。
OP=(3dt+1)1/3乗　という答えに辿りつけました。
本当にありがとうございます。

しかし、時刻０から時刻ｔの間に移動した距離を求めることができません。
何度もすみませんが、教えてください。
よろしくおねがいします。

[5] mixiユーザー 11月13日 22:56

時刻0から時刻Tの間に移動した距離は，
速さv（これは時刻tの関数）を[0,T]上積分したものです．

OPがtの式で表されていますので，
v=d/OP
もtの式で簡単に表されます．
後は正しく定積分を計算してみてください．

[6] mixiユーザー 11月13日 23:19

解けました。
すごく達成感があります。
当方、微分方程式の勉強を始めてまだ半年程ですが苦戦しています。
これからもお世話になるかもしれませんがよろしくおねがいします。
できるだけ自分で解けるよう努力したいと思います。
今回は本当にありがとうございました。

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