「友愛数」とその他数論いろいろコミュの友愛数とＡＢＣ予想

　コウ博士の計算した友愛数はすべて、（ｃ＊ｐ＊ｑ，ｃ＊ｒ）の形をしている。
　ただし、ｃは最大公約数、ｐ、ｑ、ｒは素数

　ＴＡＮＥ−ＭＥ　ＡＬＧＯＲＩＴＨＭと名づけた探索ソフトを使って計算する。
　（ｐ＊ｑ，ｒ）を計算するのがＴＡＮＥ−Ａ、ｃを計算するのがＭＥ−Ａ、全体をＴ．Ｍ．Ａと呼んでいる。
　Ｔｙｃｏ　Ｍａｇｎｅｔｉｃ　Ａｎｏｒｍａｌｉｔｙじゃないよ。
　‥‥「２００１年宇宙の旅」のエピソード

　種を求めるには、こーゆー式を解かねばならない。

　σ（ｐ＊ｑ）＝σ（ｒ）　　　　　−１−
　ｐ＊ｑ＋ｒ＝２＾ｎ＊ｓ　　　　　−２−
　ただし、ｎは５０−１００、ｓの素因数は小さい

　１．式より

　（ｐ＋１）（ｑ＋１）＝ｒ＋１

　ゆえに

　（２＊ｐ＋１）＊ｑ＋ｐ＝２＾ｎ＊ｓ

　を解くのだけど、指数の入った不定方程式の解法は一般に難しい
　ＴＡＮＥ−Ａはこの解をかなり高速で探索する。
　コウ博士が友愛数探索でトップを走っているのは、ＴＡＮＥ−Ａが優秀なせいなのだ
。
　ＴＡＮＥを探す方法を応用すると、次の式が同じように解ける。

　ｐ＊ｑ＋ｒ＝２＾ｎ＊ｓ　　　　　−３−
　（ｐ＋１）ｑ＋ｋ＝ｒ　　　　　　−４−
　ただし、ｐ、ｑ、ｒはｍ＾５の形の数、ｋは整数

　Ｃ言語風にプログラムを書くと

　ＤＯ［Ｖ＝ｖ_0、　Ｋ＝ｋ
　　Ｘ＝ｋ，　Ｙ＝２＊ｐ＋１
　ＷＨＩＬＥ［Ｎ＜ｖ_0
　　Ｘ＝Ｘ＋Ｙ
　　ＷＨＩＬＥ［Ｘ＝０　ＭＯＤ　２，　Ｘ＝Ｘ／２，　Ｎ＝Ｎ＋１］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　］
　　　Ｑ＝（２＾Ｎ＊Ｙ−ｋ）／（２＊ｐ＋１）
　ＩＦ［Ｑ＝ｍ＾５，
　　Ｒ＝（ｐ＋１）＊　＋ｋ
　　ＩＦ［Ｒ＝ｍ’＾５，ＥＮＤ　，ＥＬＳＥ　Ｖ＝Ｎ＋１　　ＤＯへ］
　　　　　　　　　　　　　　　　　ＥＬＳＥ　Ｖ＝Ｎ＋１　　ＤＯへ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　］

　３．４．式の解が求まったとして、見やすく書き換える

　ｐ＾５＊ｑ＾５＋ｒ＾５＝２＾ｎ＊ｓ　　　　　−５−
　（ｐ＾５＋１）ｑ＾５＋ｋ＝ｒ＾５　　　　　　−６−
　ただし、ｐ、ｑ、ｒは整数
　ｕ＊ｐ＊ｑ＝ｒとおく

　ＡＢＣ定理は次の通り

　Ａ＋Ｂ＝Ｃ，　ＧＣＤ（Ａ，Ｂ）＝１　ならば
　Ｃ＜（Ｒａｄ（Ａ＊Ｂ＊Ｃ））＾２

　ただし、
　　　　Ｎ＝Πｐ_i＾ｒ_i　とすると
　　　　Ｒａｄ（Ｎ）＝Πｐ_i
　例　：
　　　　Ｒａｄ（１０００）＝Ｒａｄ（２＾３＊５＾３）＝２＊５

　５．式より

　２＊ｐ＾５＊ｑ＾５＜ｐ＾５＊ｑ＾５＋ｒ＾５
　　　　　　　　　　＜（Ｒａｄ（ｐ＾５＊ｑ＾５＊ｒ＾５＊２＾ｎ＊ｓ））＾２
　　　　　　　　　　＝（Ｒａｄ（ｐ＊ｑ＊ｒ＊２＊ｓ））＾２
　　　　　　　　　　＜（ｐ＊ｑ＊ｒ＊２＊ｓ）＾２
　　　　　　　　　　＝ｐ＾４＊ｑ＾４＊ｕ＾２＊２＾２＊ｓ＾２
　ゆえに
　　　　　　　ｐ＊ｑ＜ｕ＾２＊２＊ｓ＾２
　　　　　　　　　ｓ＜２＊ｐ
　　　　　　　ｐ＊ｑ＜ｕ＾２＊８＊ｐ＾２
　　　　　　　ｑ／ｐ＜８＊ｕ＾２

　ＴＡＮＥ−Ａを用いると、ｑ／ｐの比はｕの値に関係なく無制限に取りうる
　実際、Ｕｎｉｔａｒｙ友愛数世界記録の解の場合

　　　　　　　ｑ／ｐ＝１０＾５０
　　　　　　　ｕ＝１
　　　　　　　の程度

　ゆえに、もし３，４式が解を持つならばＡＢＣ定理は「間違い」
　
　ＡＢＣ定理が「正しい」と言っているＭｏｃｈｉｚｕｋｉ氏の論文についてどーなのか、と問われたら、まー、数論の未解決問題を解いたという証明にはほとんど「穴」があることが多いし　なー、と答えておこう

　コウ博士　Ｃｏｕｎｔｅｒ　Ｅｘａｍｐｌｅを計算する方法を与えているのだ　解を発見してしまえば「勝ち」なのだ