「友愛数」とその他数論いろいろコミュの「囲碁数列」

　コウ博士のポリシーは、

　　　　小難しいこと議論していないでさっさと計算しよう
　　　　数学の美しさを人々に伝えよう
　　　　数学は生命力だ

　とかいろいろあるのだけど、そのなかの一つに、

　　　　日本文化の中の数学を世界の数学者に知らせよう

　というのがあります。

　今までに、「源氏香の図」は集合の分割数であるとか「畳の敷き方」などを数列ＭＬに投稿したりしています。

　　　　http://www33.ocn.ne.jp/~kazz921/kumiko/genjiko/genjikou.html

　　　　http://www.research.att.com/~njas/sequences/A052270

　囲碁数列もそのひとつです。

　それで囲碁がどういう風に数学と関係しているかということなのですが、囲碁を打つこと自体もうまるごと数学そのものです。
　ゆえに囲碁が好きな人は数学者だと言っても間違いじゃない。　
　きちんと定式化したことはないのだけど、なんとなくグラフ理論の「連結性」に似た概念などが定義できそうな気がします。

　ＯＥＩＳに投稿した数列はこういうものです。

　　　　http://www.research.att.com/~njas/sequences/A096259

　［解説］

　もし次の条件が満たされるなら、

　ｏ　両方の打ち手が勝とうとしない
　ｏ　石の配置が同じ盤面なら同じ手を打つ

　ゲームは必ず周期ｎの繰り返しになります。
　なぜなら配置の数は有限で３＾３６１個しかない。
　ゆえにｎ≦３＾３６１．
　実際に可能な打ち方の周期はいくつかを各ｍ＝盤の目数について計算したのが囲碁数列です。
　　　　
　たとえば、縦横３×４＝１２　の碁盤上の囲碁の最もながい周期は７９２というわけです。

　この数列の公式のなかに現れる「数列」を「ＧＯ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅ」と呼びその一般化を「Ｇ　ＧＯ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅ」～ＧはＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄの頭文字～と呼んでいるのですが、Ｇ　ＧＯ数列が「面白い」と結構評判が良い。　＞Ｇ．Ｇ．と略す

　ＭＬにＧ．Ｇ．の性質に関していろいろなレスが投稿されました。

　［ＧＧのルール］

　　　　もしｂ（ｍ－１）が偶数なら、ｂ（ｍ）＝１／２＊ｂ（ｍ－１）
　　　　もしｂ（ｍ－１）が奇数なら、ｂ（ｍ）＝ｋ－１／２＊（ｂ（ｍ－１）＋１）
　　　　ただし、ｋは整数の定数

　　例
　　
k=47

1000,500,250,125,-16,-8,-4,-2,-1,47,23,35,29,32,16,8,4,2,1,46,23,....

43,25,34,17,38,19,37,28,14,7,43,....

41,26,13,40.20,10,5,44,22,11,41,....

39,27,33,30,15,39,....

31,31,....

21,36,18,9,42,21,....

3,45,24,12,6,3,....

　　７個のサイクルがあります。

　［ＧＧの周期］

　「囲碁数列」の周期ではなくて、囲碁数列を表現する公式に現れる「数列＝ＧＧ」もまた周期があり、その「周期」のことです。

　［性質］

　ｎ項の数値は「２＊ｎ－１を法とした２のＭｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ　Ｏｒｄｅｒかその１／２である」
　　　　
　　　　http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=id%3AA137605&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

　　　　各ｋに対してｋ→１になるステップの数の数列
　　　　Ａ１３７６０５＝ＧＧの周期－１

　ＭｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅＯｒｄｅｒは日本語で位数といいます。
　＞例
　７を法とする２の位数は、２＾３＝１　Ｍｏｄ　７　だから、３になります。