コウ博士は多面体が好きです。
もっと生活の中のものや道具たちのデザインに、多面体が取り入れられれば良いのにと思います。
便利さゆえの六面体を除き、何面体のものがあるかというと、例えば２０面体の乱数サイコロ、３２面体の模様のサッカーボール、１４面体の行灯など、某メーカーの４面体のティーバッグはかわいいですね。
三角おにぎりも、手作りだと角が丸くて多面体とは言えませんが、コンビニで売っているのはきちんと角もあって三角柱＝５面体ですね。
コウ博士が多面体おにぎりを食べながら具は何かを見ると、なんと「タメンタイ」と書いてありました。
とても幾何学なおにぎりです。
よく見たら「ハカタメンタイコ」だった。
多面体の内、正多面体はよく知られているように５種類あります。
http://
さて、数論検定段位編です。
「正多面体の５種類を式を立てて求めてください」
また、
「５種に限ることも示してください」
ｏ 式を立てて解いた ‥‥ ２段
ｏ 式を立てたが解けない ‥‥ 初段
ヒント ： 次の「多面体公式」
Ｔ−Ｓ＋Ｍ＝２
ただし、Ｔは頂点の数、Ｓは稜線の数、Ｍは面の数
もっと生活の中のものや道具たちのデザインに、多面体が取り入れられれば良いのにと思います。
便利さゆえの六面体を除き、何面体のものがあるかというと、例えば２０面体の乱数サイコロ、３２面体の模様のサッカーボール、１４面体の行灯など、某メーカーの４面体のティーバッグはかわいいですね。
三角おにぎりも、手作りだと角が丸くて多面体とは言えませんが、コンビニで売っているのはきちんと角もあって三角柱＝５面体ですね。
コウ博士が多面体おにぎりを食べながら具は何かを見ると、なんと「タメンタイ」と書いてありました。
とても幾何学なおにぎりです。
よく見たら「ハカタメンタイコ」だった。
多面体の内、正多面体はよく知られているように５種類あります。
http://
さて、数論検定段位編です。
「正多面体の５種類を式を立てて求めてください」
また、
「５種に限ることも示してください」
ｏ 式を立てて解いた ‥‥ ２段
ｏ 式を立てたが解けない ‥‥ 初段
ヒント ： 次の「多面体公式」
Ｔ−Ｓ＋Ｍ＝２
ただし、Ｔは頂点の数、Ｓは稜線の数、Ｍは面の数
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コメント(3)
解きました。
方針は多面体公式
Ｔ−Ｓ＋Ｍ＝２
ただし、Ｔは頂点の数、Ｓは稜線の数、Ｍは面の数
から２文字を消去します。これは正多面体は次で一意に定まると思ったからです。
１．面は正ｎ角形である。
２．一つの頂点にはｋ個の稜線が集まる。
このｎとｋを用いて面の数や僚船の数、頂点の数が定まると考えました。
正多面体の展開図を考えると次が成立する。
１）一つの稜線には二つの頂点が現れる。
２）一つの頂点には複数の稜線が集まる。
２）について、正多面体の対称性より、正多面体の任意の頂点に集まる稜線の数は全ての頂点で同じ。
これをｋと置く。
全ての稜線に現れる頂点の数は、一つの稜線に現れる頂点の数は２なので２Ｓ。
このとき一つの頂点をｋ回数えているので次が成立する。
ｋＴ＝２Ｓ
また、展開図において次も成立する。
３）一つの稜線は二つの面に現れる。
４）一つの面には複数の稜線が現れる。
４）について、正多面体の一つの面は必ず正多角形である。
この多角形が正ｎ角形であるものとする。
全ての面に現れる稜線の数は、一つの稜線は二つの面に現れるので２Ｓ。
このとき一つの稜線をｎ回数えているので次が成立する。
２Ｓ＝ｎＭ
得た式「ｋＴ＝２Ｓ＝ｎＭ」を用いて多面体公式からＴ，Ｓを消去すると
ｎＭ/ｋ−ｎＭ/２＋Ｍ＝２
⇔ （２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）Ｍ＝４ｋ
⇔ Ｍ＝４ｋ/（２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）
ここで、明らかに Ｍ＞０ なので、４ｋ/（２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）＞０
特に分子が正なので分母も正。
２ｎ−ｎｋ＋２ｋ＞０
⇔（２−ｎ）ｋ＞−２ｎ ここでｎ＞２より
⇔ ｋ＜２ｎ/（ｎ−２）＝２＋４/（ｎ−２）
また、ｋは３以上なので、ｋ＝３，４，５
（ｋ＝２では立体になれない）
ｋ＝３のとき、
Ｍ＝１２/（２ｎ−３ｎ＋６）＝１２/（６−ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（３，３）のとき、Ｍ＝４ （正四面体）
（ｋ，ｎ）＝（３，４）のとき、Ｍ＝６ （正六面体）
（ｋ，ｎ）＝（３，５）のとき、Ｍ＝１２（正１２面体）
ｋ＝４のとき、
Ｍ＝１６/（２ｎ−４ｎ＋８）＝８/（４−ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（４，３）のとき、Ｍ＝８ （正八面体）
ｋ＝５のとき、
Ｍ＝２０/（２ｎ−５ｎ＋１０）＝２０/（１０−３ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（５，３）のとき、Ｍ＝２０ （正２０面体）
以上より正多面体は全て求められた。
方針は多面体公式
Ｔ−Ｓ＋Ｍ＝２
ただし、Ｔは頂点の数、Ｓは稜線の数、Ｍは面の数
から２文字を消去します。これは正多面体は次で一意に定まると思ったからです。
１．面は正ｎ角形である。
２．一つの頂点にはｋ個の稜線が集まる。
このｎとｋを用いて面の数や僚船の数、頂点の数が定まると考えました。
正多面体の展開図を考えると次が成立する。
１）一つの稜線には二つの頂点が現れる。
２）一つの頂点には複数の稜線が集まる。
２）について、正多面体の対称性より、正多面体の任意の頂点に集まる稜線の数は全ての頂点で同じ。
これをｋと置く。
全ての稜線に現れる頂点の数は、一つの稜線に現れる頂点の数は２なので２Ｓ。
このとき一つの頂点をｋ回数えているので次が成立する。
ｋＴ＝２Ｓ
また、展開図において次も成立する。
３）一つの稜線は二つの面に現れる。
４）一つの面には複数の稜線が現れる。
４）について、正多面体の一つの面は必ず正多角形である。
この多角形が正ｎ角形であるものとする。
全ての面に現れる稜線の数は、一つの稜線は二つの面に現れるので２Ｓ。
このとき一つの稜線をｎ回数えているので次が成立する。
２Ｓ＝ｎＭ
得た式「ｋＴ＝２Ｓ＝ｎＭ」を用いて多面体公式からＴ，Ｓを消去すると
ｎＭ/ｋ−ｎＭ/２＋Ｍ＝２
⇔ （２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）Ｍ＝４ｋ
⇔ Ｍ＝４ｋ/（２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）
ここで、明らかに Ｍ＞０ なので、４ｋ/（２ｎ−ｎｋ＋２ｋ）＞０
特に分子が正なので分母も正。
２ｎ−ｎｋ＋２ｋ＞０
⇔（２−ｎ）ｋ＞−２ｎ ここでｎ＞２より
⇔ ｋ＜２ｎ/（ｎ−２）＝２＋４/（ｎ−２）
また、ｋは３以上なので、ｋ＝３，４，５
（ｋ＝２では立体になれない）
ｋ＝３のとき、
Ｍ＝１２/（２ｎ−３ｎ＋６）＝１２/（６−ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（３，３）のとき、Ｍ＝４ （正四面体）
（ｋ，ｎ）＝（３，４）のとき、Ｍ＝６ （正六面体）
（ｋ，ｎ）＝（３，５）のとき、Ｍ＝１２（正１２面体）
ｋ＝４のとき、
Ｍ＝１６/（２ｎ−４ｎ＋８）＝８/（４−ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（４，３）のとき、Ｍ＝８ （正八面体）
ｋ＝５のとき、
Ｍ＝２０/（２ｎ−５ｎ＋１０）＝２０/（１０−３ｎ）
これが自然数になるので
（ｋ，ｎ）＝（５，３）のとき、Ｍ＝２０ （正２０面体）
以上より正多面体は全て求められた。
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