大学数学（独学）コミュの数検１級の受験報告

４月９日（日）に数検１級を受験してきました。
合格には程遠い結果だと自負しています。
問題を家でゆっくり解いて、自分なりの解答を作成しようと思います。

＜１次問題＞
１「×」：３項、５次の展開問題
２「×」：三角関数の和と積の問題
３「○」：３×３の正方行列の１次変換の問題
４「○」：期待値と分散の問題
５「×」：三角関数の逆関数の不定積分と面積の問題
６「×」：４×４の正方行列の固有値の問題
７「×」：２回微分方程式の問題

＜２次問題＞
１、２、６、７を解きました。
１「×」：整数の問題
２「×」：数列と極限値の問題
６「△」：線形写像の問題
７「×」：曲面積の最大値の問題



＜１次試験の問題＞
問題１. (x-2-3/x)^5を展開したときの定数項を求めなさい。

問題２. 積 sin20°*sin40°*sin60°*sin80°の値を求めなさい(この値は有理数です)。

問題３. xyz空間の1次変換 f: t(x y z) → [[1 -1 2][-2 3 1][0 1 5]]t(x y z) (tは列ベクトル)
によって、直線 (4-x)/3=y-2=(z+1)/2はどのような図形に移るでしょうか。
その図形の方程式を求めなさい。

問題４. 1,2,3のカードがそれぞれ3枚,2枚,1枚あります。この6枚のカードを袋に入れ、中を見ないで2枚のカードを取り出し、その2枚のカードに書かれている数の積をXとするとき、次の問いに答えなさい。
? Xの平均E(X)を求めなさい。
? Xの分散V(X)を求めなさい。

問題５. 次の問いに答えなさい。ただしarcsinx(逆正弦関数)は,-π/2以上π/2以下の値をとるものとします。
?次の不定積分を求めなさい。
　∫arcsin(2x)dx
?xy平面上のグラフy=arcsin(2x) (-1/2<=x<=1/2)とx軸、および2直線x=-1/2、x=√3/4で囲まれた部分の面積を求めなさい。

問題６. 次の4次正方行列Aの固有値をすべて求めなさい。
A=[[2 -1 0 1][-1 1 1 2][0 1 0 -1][-1 2 -1 -1]]

問題７. 次の微分方程式を解きなさい。
　　　　d2y/dx2+4y=sin(2x)


＜２次試験の問題＞
問題１.　6で割ると1余る素数pに対して、t^3≡1(mod p)を満たすtは1のほかに1<t<pの範囲にさらに2個あります。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）p=67に対して、t^3≡1(mod p)を満たす1以外のtの値m,nを求めなさい。ただし、1<m<n<pとします。
（2）任意の整数kをpで割った余りをk~(0<=k~<p)と表します。pの倍数でないkと、(1)で求めた3乗根に相当するm,nから定まるx=k~、y=(km)~、z=(kn)~を
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
に代入した値はつねにpの倍数ですが(このことは証明しなくてもかまいません)、kをうまくとるとf(x,y,z)=pが成り立つようにできます。p=67の場合に、そのようなkを1<k<pの範囲で求めなさい。

問題２.　正の整数nに対して、a(n)を次のように定義します。
　　　　a(n)=Σ[k+l=n](1/{(k+1)(l+1)})
ここにk,lは和がnになるような0または正の整数の組全体にわたります。
これについて、次の問いに答えなさい。
（1）a(n)は単調減少数列であることを証明しなさい。
（2）lim a(n) [n→∞]を求めなさい。

問題３.　半径1の球があります。これに外接する直円錐(側面と底面が球に外接する直円錐)のうち体積が最小のものについて、次の問いに答えなさい。
（1）体積が最小の直円錐の底面の半径と高さを求めなさい。
（2）この直円錐を底面と平行な球の接平面で切って、円錐台に球を内接させます。この円錐台を、球の中心を通って底面に平行な平面で切ったとき、上下の円錐台からそれぞれ半球の部分を除いた部分の体積の比を求めて、できるだけ簡単な形で表しなさい。

問題４.　Aさんはある歴史上の人物の知名度を調べるため、100人を無作為に選んで調査したところ、60人が「知っている」と答え、残りの40人は「知らない」と答えました。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、解答の際には下の正規分布表の値を用いなさい。
（1）この歴史上の人物の知名度(「知っている」と答えた人の割合)pの90％の信頼区間を求めなさい。ただし、信頼限界の値は小数第3位を四捨五入して、小数第2位まで求めなさい。
（2）Aさんは、知名度をより正確なものにすべく、(1)におけるpの99％の信頼区間を求めたいと考えています。この信頼区間の幅(信頼区間が[p^-q, p^+q]のときのqの値)を0.05以内にするためには(既に調査した100人を含めて)何人以上の調査をする必要があるでしょうか。答えは一の位を切り上げて、十の位の概数で求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　正規分布表
　　　(平均0、分散1の正規分布における上側α点の値z(α)を表します)
　　　　　　　　　　　　　　　α　z(α)
　　　　　　　　　　　　　　0.005　2.576
　　　　　　　　　　　　　　0.01　 2.326
　　　　　　　　　　　　　　0.025　1.960
　　　　　　　　　　　　　　0.05　 1.645
　　　　　　　　　　　　　　0.1　 1.282

問題５.　右図のように、点A,点Bと直線lが次の条件を満たすように与えられたとします。
　・線分ABが直線lと共有点を持たない。
　・直線ABと直線lは平行でない。
このとき、2点A,Bを通り、直線lに接する円が2つ存在しますが、そのうちの1つをコンパスとものさしのみで作図し、その手順も簡潔に記しなさい。ただし、ものさしは直線を引くことだけに用いなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・B
　　　　　　　　　　　　　　　　　・A


　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ l


問題６.　Vを3次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間、Wを2次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間とします。VからWへの写像Fを
　F(f(x))=2xf''(x)-f'(x+1)+(x^2)f(1)
によって定めます。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）Fは線形写像であることを示しなさい。
（2）Vの基底を<1,3x-5,2x^2-3x,x^3-2x^2+4>、Wの基底を<1,x-1,(x-1)^2>とするとき、これら2つの基底に関する線形写像Fの表現行列を求めなさい。

問題７.　0<a<2とします。円柱面 (x-2+a)^2+y^2=a^2のうち、球面x^2+y^2+z^2=4の内部にある部分の曲面積S(a)をaの関数として表し、aを冒頭の範囲で変化させたときのS(a)の最大値を求めなさい。