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↑での私の書き込みがきっかけで議論となったのですが、「教科書の矛盾」というトピの主旨とはずれてきたので、別にたてました。
↑での私の書き込みがきっかけで議論となったのですが、「教科書の矛盾」というトピの主旨とはずれてきたので、別にたてました。
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コメント(67)
議論の本筋に戻って私見を述べさせて戴きます。
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
という命題は、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
という命題を論理的に含意しますよね。すなわち、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
という命題の真理値が真のときは常に、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
という命題の真理値も真です。すなわち、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件であり、
かつ
命題 P が命題 Q の必要条件ではない」
という命題の真理値は常に偽です。
よって、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
を正解とするならば、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
も正解とするべきです。
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」だけを正解にしたいの
であれば、このままでは、問題の作成自体に不備があると言わざるを得ないと思います。「もっとも適当な選択肢を選べ」のような、「もっとも適当な」という条件を付けても、この場合、「もっとも適当」とはどういう概念かということを明示的に定義していませんから、そもそも、問題の解答方法の指示として不適切であり、正解を一つに絞り込む方法としては、少なくとも「最適な方法」とは言いかねると思います。問題を修正するとすれば、やはり、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」という選択肢と
「命題 P が命題 Q の十分条件である」という選択肢を
それぞれ、
「命題 P が命題 Q の必要条件であるが、十分条件ではない」
「命題 P が命題 Q の十分条件であるが、必要条件ではない」
とする必要があると思います。
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
という命題は、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
という命題を論理的に含意しますよね。すなわち、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
という命題の真理値が真のときは常に、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
という命題の真理値も真です。すなわち、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件であり、
かつ
命題 P が命題 Q の必要条件ではない」
という命題の真理値は常に偽です。
よって、
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」
を正解とするならば、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」
も正解とするべきです。
「命題 P が命題 Q の必要十分条件である」だけを正解にしたいの
であれば、このままでは、問題の作成自体に不備があると言わざるを得ないと思います。「もっとも適当な選択肢を選べ」のような、「もっとも適当な」という条件を付けても、この場合、「もっとも適当」とはどういう概念かということを明示的に定義していませんから、そもそも、問題の解答方法の指示として不適切であり、正解を一つに絞り込む方法としては、少なくとも「最適な方法」とは言いかねると思います。問題を修正するとすれば、やはり、
「命題 P が命題 Q の必要条件である」という選択肢と
「命題 P が命題 Q の十分条件である」という選択肢を
それぞれ、
「命題 P が命題 Q の必要条件であるが、十分条件ではない」
「命題 P が命題 Q の十分条件であるが、必要条件ではない」
とする必要があると思います。
＞たしこまさん
おっしゃっている意味を飲み込めないのですが、要するに免許の問題は×とお考えということでよろしいのでしょうか？
＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
わかりにくいのですが、わたしは最初から、裏とか逆とかは言っていません。
「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理というのも、いったい何を指していっているのかわかりません。
「命題が偽ならばその否定命題は真である」というのはあるし、それは使っていますが、
「仮免で運転するには、免許取得２年以上の者の同乗が必要」が×なら、その否定「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」が○となるけど、それは明らかにおかしいわけで。
あるいは、「仮免で運転中 ならば 免許取得２年以上の者が同乗ている」として対偶を作れば「免許取得２年以上の者が同乗していない ならば 仮免で運転中ではない」とでもすれば○となることがわかると思うのですが。
おっしゃっている意味を飲み込めないのですが、要するに免許の問題は×とお考えということでよろしいのでしょうか？
＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
わかりにくいのですが、わたしは最初から、裏とか逆とかは言っていません。
「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理というのも、いったい何を指していっているのかわかりません。
「命題が偽ならばその否定命題は真である」というのはあるし、それは使っていますが、
「仮免で運転するには、免許取得２年以上の者の同乗が必要」が×なら、その否定「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」が○となるけど、それは明らかにおかしいわけで。
あるいは、「仮免で運転中 ならば 免許取得２年以上の者が同乗ている」として対偶を作れば「免許取得２年以上の者が同乗していない ならば 仮免で運転中ではない」とでもすれば○となることがわかると思うのですが。
>たちこまさん
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」は×です。
＞「仮免で運転するには、免許取得２年以上の者の同乗が必要」が×なら、その否定「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」が○となるけど、それは明らかにおかしいわけで。
と書いてあるとおりです。読んでわかるとおり、私は元の命題が○であることを示すために、もしそれが×なら、その否定命題が○になって、それはおかしいでしょ、だから元の命題は○です と主張しているのですが。
＞「命題が偽ならばその否定命題は真である」
と書いたのは舌足らずだったのかもしれません。
これとセットに、「命題が真ならその否定命題は偽である」
「否定命題が真なら元が偽」、「否定命題が偽なら元は真」、なども書くべきだったかもしれません。要するに、命題と否定命題の真偽は逆転しているということですが。
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」は×です。
＞「仮免で運転するには、免許取得２年以上の者の同乗が必要」が×なら、その否定「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」が○となるけど、それは明らかにおかしいわけで。
と書いてあるとおりです。読んでわかるとおり、私は元の命題が○であることを示すために、もしそれが×なら、その否定命題が○になって、それはおかしいでしょ、だから元の命題は○です と主張しているのですが。
＞「命題が偽ならばその否定命題は真である」
と書いたのは舌足らずだったのかもしれません。
これとセットに、「命題が真ならその否定命題は偽である」
「否定命題が真なら元が偽」、「否定命題が偽なら元は真」、なども書くべきだったかもしれません。要するに、命題と否定命題の真偽は逆転しているということですが。
＞>13の免許の問題に関して，根本的に勘違いされているようなので．．．
「ｘ≧３」が必要十分条件です．
「ｘ≧２」は必要条件です．
即ち，この問題は，「ｘ≧２ならば，ｘ≧３を満たすか？」という命題ですから，明らかに偽です．
たちこまさんとのやりとりを何度も読み返しましたが、やはり主旨を十分に捉えることができません。
上の引用部分は、免許の問題とアナロジーになっているのでしょうか？
であるならば、「ｘ≧３ならば，ｘ≧２とならなければならないか？」とすべきです。
「ｘ≧２ならば，ｘ≧３を満たすか？」に対応するのは、「免許取得後２年以上者のが同乗すれば、仮免で運転できるか？」です。
「ｘ≧３」が必要十分条件です．
「ｘ≧２」は必要条件です．
即ち，この問題は，「ｘ≧２ならば，ｘ≧３を満たすか？」という命題ですから，明らかに偽です．
たちこまさんとのやりとりを何度も読み返しましたが、やはり主旨を十分に捉えることができません。
上の引用部分は、免許の問題とアナロジーになっているのでしょうか？
であるならば、「ｘ≧３ならば，ｘ≧２とならなければならないか？」とすべきです。
「ｘ≧２ならば，ｘ≧３を満たすか？」に対応するのは、「免許取得後２年以上者のが同乗すれば、仮免で運転できるか？」です。
くどくなってしまいますが、蛇足かもしれませんが、誤解を避けるためですのでご了承下さい。
「ｘ≧３ ならば ｘ≧２」 は真
「ｘ≧２ ならば ｘ≧３」 は偽
ただし、不等式の問題で、「ｘ≧３」が正解となるときに、「ｘ≧２」と解答した場合、正解とならないのが普通です。「不等式と解く」とは、「その不等式が成り立つｘの範囲を過不足なくて提示せよ」あるいはおなじことですが、「その不等式が成り立つｘに関する必要かつ十分な条件を最も簡単な形で提示せよ」ということです。
だから、「２ｘ≧６ ならば ｘ≧２」 は真 ですが
「２ｘ≧６ を 解け」という問題で、「ｘ≧２」と答えた場合不正解となります。
免許の問題は、
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の真偽が問われています。
道交法では「３年以上の者」となっているのですが、「３年以上の者」は自動的に「２年以上の者」を意味します。逆の「２年以上の者」が自動的に「３年以上の者」を意味する、訳ではないのは当然です。つまり、
「仮免で運転するには、免許取得年数３年以上の者の同乗が必要」と道交法にある。
そこから必然的に
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」は導かれます。だからこれは、○です。
「免許取得後２年以上の者が同乗すれば、仮免で運転できる」という問題文なら×です。（反例 ２年の者）
で、たちこまさんがどの部分に疑問をもたれているのか、よくわからないのですが。
「ｘ≧３ ならば ｘ≧２」 は真
「ｘ≧２ ならば ｘ≧３」 は偽
ただし、不等式の問題で、「ｘ≧３」が正解となるときに、「ｘ≧２」と解答した場合、正解とならないのが普通です。「不等式と解く」とは、「その不等式が成り立つｘの範囲を過不足なくて提示せよ」あるいはおなじことですが、「その不等式が成り立つｘに関する必要かつ十分な条件を最も簡単な形で提示せよ」ということです。
だから、「２ｘ≧６ ならば ｘ≧２」 は真 ですが
「２ｘ≧６ を 解け」という問題で、「ｘ≧２」と答えた場合不正解となります。
免許の問題は、
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の真偽が問われています。
道交法では「３年以上の者」となっているのですが、「３年以上の者」は自動的に「２年以上の者」を意味します。逆の「２年以上の者」が自動的に「３年以上の者」を意味する、訳ではないのは当然です。つまり、
「仮免で運転するには、免許取得年数３年以上の者の同乗が必要」と道交法にある。
そこから必然的に
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」は導かれます。だからこれは、○です。
「免許取得後２年以上の者が同乗すれば、仮免で運転できる」という問題文なら×です。（反例 ２年の者）
で、たちこまさんがどの部分に疑問をもたれているのか、よくわからないのですが。
＞たちこまさん
逆、裏、対偶、否定 これらについてはご理解されているのですよね？
ある命題の真偽と、その命題の対偶の真偽は 一致する
ある命題の真偽と、その命題の真偽は 逆転する
ここもよろしいでしょうか？
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の否定命題として、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
をだして、これは偽だから、元は真だといっているのですが、
たちこまさんは、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
を元の命題の逆か裏だと思っているのでしょうか？
＞＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
でもこれをみると、わたしの命題は裏ではないということですが、全くその通りで、裏を提示したつもりはありません。まして、「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」などというような有りもしない「定理」を使ってはいません。
私の提示したのは、否定命題 です。
逆、裏、対偶、否定 これらについてはご理解されているのですよね？
ある命題の真偽と、その命題の対偶の真偽は 一致する
ある命題の真偽と、その命題の真偽は 逆転する
ここもよろしいでしょうか？
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の否定命題として、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
をだして、これは偽だから、元は真だといっているのですが、
たちこまさんは、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
を元の命題の逆か裏だと思っているのでしょうか？
＞＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
でもこれをみると、わたしの命題は裏ではないということですが、全くその通りで、裏を提示したつもりはありません。まして、「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」などというような有りもしない「定理」を使ってはいません。
私の提示したのは、否定命題 です。
>にしひろさん
>私の提示したのは、否定命題 です。
私の勘違いでした．すいません．
免許の問題に関しては，偽であると私は考えています．
道交法では，「３年以上の者の同乗が必要」と規定しているので，「同乗者の免許取得から３年以上（以下ｘ≧３）」が仮免許の人が練習する為の必要十分条件です．
この問題では，「同乗者の免許取得から２年以上（以下ｘ≧２）」と言っていますが，これは「ｘ≧３の必要条件」であって，十分ではないので，偽となります．(反例 ｘ＝２）
>「免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
という命題は「免許取得期間が，２年以上，３年未満の者の同乗は必要ではない」ので，真となります．
簡単のために，「必要」という部分を「道交法を満たす」としても同値ですから，そのように読み替えて考えてはいかがでしょう？
「仮免許で練習する際，免許取得３年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは真です．
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは偽です．
これの否定命題
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たさない．」これは真です．
にしひろさんが仰りたい内容は，おおよそ理解できたのですが，例題がよろしくないのでは？
スピードの問題はいいと思うのですが．．．
要は，「仮免許で練習する際，免許取得４年以上の者の同乗が必要である．」という問題ならば，よかっただけですよね？
これならば，数学的には○でも，免許の問題的には×ですから．
>私の提示したのは、否定命題 です。
私の勘違いでした．すいません．
免許の問題に関しては，偽であると私は考えています．
道交法では，「３年以上の者の同乗が必要」と規定しているので，「同乗者の免許取得から３年以上（以下ｘ≧３）」が仮免許の人が練習する為の必要十分条件です．
この問題では，「同乗者の免許取得から２年以上（以下ｘ≧２）」と言っていますが，これは「ｘ≧３の必要条件」であって，十分ではないので，偽となります．(反例 ｘ＝２）
>「免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
という命題は「免許取得期間が，２年以上，３年未満の者の同乗は必要ではない」ので，真となります．
簡単のために，「必要」という部分を「道交法を満たす」としても同値ですから，そのように読み替えて考えてはいかがでしょう？
「仮免許で練習する際，免許取得３年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは真です．
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは偽です．
これの否定命題
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たさない．」これは真です．
にしひろさんが仰りたい内容は，おおよそ理解できたのですが，例題がよろしくないのでは？
スピードの問題はいいと思うのですが．．．
要は，「仮免許で練習する際，免許取得４年以上の者の同乗が必要である．」という問題ならば，よかっただけですよね？
これならば，数学的には○でも，免許の問題的には×ですから．
＞たちこまさん
＞簡単のために，「必要」という部分を「道交法を満たす」としても同値ですから
ここが根本的に違うと思うのです。
「車を運転するには酒を飲んでいないことが必要である」○
「飲酒していなければ運転の条件を満たす」のではありません。
免許がなければ運転できませんから。
「〜なければならない」をなぜ十分条件と解釈するのか理解できません。「必要」をなぜ「満たす」と解釈するのですか？
＞例題がよろしくないのでは？
問題は私の創作ではなく、２ちゃんねる数学板で実例として出たものです。そのときは、数学的には○だけど、世間の論理は数学の論理と違うから×だろうという流れになっていたところで、事情に詳しい人が、「試験問題の解答も○だよ」となって決着したのです。
この例を出したのは、免許試験という数学とはほど遠い世界でも世間の論理ではなく数学の論理が使われている。にもかかわらず、数学の論理の単元であのような問題でいいのか？ということで書きました。
速度の問題は私の創作ですが。
否定命題に関してですが、高校ではあまりやらないですのですが、
「すべてのｘに関して、Ｐ」の否定は
「あるｘに関して、Ｐの否定命題」です。
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」の否定は、「２年以上の者が同乗しても道交法を満たさない場合がある」で、○です。
「すべての」などを適宜補わないと、否定命題は作れません。
ちなみに、
「ＰならばＱ」 の否定は 「Ｐであり、かつ、Ｑでない」です。
「免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」
これを、
「免許取得２年以上の者が同乗する ならば 道交法を満たす」
と読み替えれば、否定命題は
「２年以上の者が同乗し、かつ、道交法を満たさない」となります。
「すべての場合について、免許取得２年以上の者が同乗する ならば 道交法を満たす」
の否定は
「ある場合について、免許取得２年以上の者が同乗して、道交法を満たさない」で、つまり
「２年以上の者が同乗しても道交法を満たさない場合がある」
ということです。
で、これから出発なのでここを見るのを数日後になるのでご了承下さい。
＞簡単のために，「必要」という部分を「道交法を満たす」としても同値ですから
ここが根本的に違うと思うのです。
「車を運転するには酒を飲んでいないことが必要である」○
「飲酒していなければ運転の条件を満たす」のではありません。
免許がなければ運転できませんから。
「〜なければならない」をなぜ十分条件と解釈するのか理解できません。「必要」をなぜ「満たす」と解釈するのですか？
＞例題がよろしくないのでは？
問題は私の創作ではなく、２ちゃんねる数学板で実例として出たものです。そのときは、数学的には○だけど、世間の論理は数学の論理と違うから×だろうという流れになっていたところで、事情に詳しい人が、「試験問題の解答も○だよ」となって決着したのです。
この例を出したのは、免許試験という数学とはほど遠い世界でも世間の論理ではなく数学の論理が使われている。にもかかわらず、数学の論理の単元であのような問題でいいのか？ということで書きました。
速度の問題は私の創作ですが。
否定命題に関してですが、高校ではあまりやらないですのですが、
「すべてのｘに関して、Ｐ」の否定は
「あるｘに関して、Ｐの否定命題」です。
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」の否定は、「２年以上の者が同乗しても道交法を満たさない場合がある」で、○です。
「すべての」などを適宜補わないと、否定命題は作れません。
ちなみに、
「ＰならばＱ」 の否定は 「Ｐであり、かつ、Ｑでない」です。
「免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」
これを、
「免許取得２年以上の者が同乗する ならば 道交法を満たす」
と読み替えれば、否定命題は
「２年以上の者が同乗し、かつ、道交法を満たさない」となります。
「すべての場合について、免許取得２年以上の者が同乗する ならば 道交法を満たす」
の否定は
「ある場合について、免許取得２年以上の者が同乗して、道交法を満たさない」で、つまり
「２年以上の者が同乗しても道交法を満たさない場合がある」
ということです。
で、これから出発なのでここを見るのを数日後になるのでご了承下さい。
＞仰っている内容が未だ理解できないのですが，
それについて説明することはいっこうに構わないのですが、たちこまさん自身が、論理・命題についてある程度理解されているのか、根本的な疑問があります。
＞「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは偽です．
これの否定命題
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たさない．」これは真です．
あとの命題は最初の命題の否定になっていません。
命題Ａの否定をＢとすると、Ａが真ならＢは偽。Ａが偽ならＢは真になっていなくてはなりません。
「Ｐ→Ｑ」の否定は、「Ｐ→Ｑの否定」ではありません。
「Ｐ かつ Ｑの否定」です。 Ｑの否定は「Ｑではない」としても同じ事です。
ｘを整数とする。
「ｘは偶数 → ｘは６の倍数」これは偽
「ｘは偶数 → ｘは６の倍数ではない」これも偽
命題とその否定命題がともに偽となることはないので、これはそもそも後者の命題は前者の否定ではない。
「あるｘに関して ｘは偶数 かつ ｘは６の倍数でない」真（
凡例を一つでも上げればいい。 ｘ＝４ など）
これが最初の命題の否定命題。
私に対して、「根本的な勘違い」と指摘されてますが、私から見るとたちこまさんご自身が、こういう命題・論理のイロハについて誤解されているようですので前回それを指摘したつもりでしたが、それに関してどうお考えなのでしょうか。
ご質問の件に関してはすでに何度も書いてあるように、
「免許取得２年以上の者の同乗」は「仮免での運転の必要な条件」です。たちこまさんが「２年以上の人の同乗」を「２年以上」と「同乗」の二つに分ける意図が分かりません。
ついでに、制限速度の例ならわかると言うことですが、
５０キロ規制の道路で、「この道路では、８０キロを超えて走ってはならない」「この道路では、８０キロ以下で走らなくてはならない」という二つの文言は実質同じ事で、ともに真です。
これが真だとわかるなら、仮免の件も理解できると思うのですが。
それについて説明することはいっこうに構わないのですが、たちこまさん自身が、論理・命題についてある程度理解されているのか、根本的な疑問があります。
＞「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たす」これは偽です．
これの否定命題
「仮免許で練習する際，免許取得２年以上の者の同乗は道交法を満たさない．」これは真です．
あとの命題は最初の命題の否定になっていません。
命題Ａの否定をＢとすると、Ａが真ならＢは偽。Ａが偽ならＢは真になっていなくてはなりません。
「Ｐ→Ｑ」の否定は、「Ｐ→Ｑの否定」ではありません。
「Ｐ かつ Ｑの否定」です。 Ｑの否定は「Ｑではない」としても同じ事です。
ｘを整数とする。
「ｘは偶数 → ｘは６の倍数」これは偽
「ｘは偶数 → ｘは６の倍数ではない」これも偽
命題とその否定命題がともに偽となることはないので、これはそもそも後者の命題は前者の否定ではない。
「あるｘに関して ｘは偶数 かつ ｘは６の倍数でない」真（
凡例を一つでも上げればいい。 ｘ＝４ など）
これが最初の命題の否定命題。
私に対して、「根本的な勘違い」と指摘されてますが、私から見るとたちこまさんご自身が、こういう命題・論理のイロハについて誤解されているようですので前回それを指摘したつもりでしたが、それに関してどうお考えなのでしょうか。
ご質問の件に関してはすでに何度も書いてあるように、
「免許取得２年以上の者の同乗」は「仮免での運転の必要な条件」です。たちこまさんが「２年以上の人の同乗」を「２年以上」と「同乗」の二つに分ける意図が分かりません。
ついでに、制限速度の例ならわかると言うことですが、
５０キロ規制の道路で、「この道路では、８０キロを超えて走ってはならない」「この道路では、８０キロ以下で走らなくてはならない」という二つの文言は実質同じ事で、ともに真です。
これが真だとわかるなら、仮免の件も理解できると思うのですが。
話が大幅にずれてしまいましたが、私はたちこまさんのような人が何らかの事情で高校生に数学を教え、命題の部分を教えるような事態を懸念しているのです。
命題の部分は、他の数学分野と違って「自分がわかっていない」ことがわからないことがあるのです。そこが、微積分などと違うところです。実際、たちこまさんは、裏だの逆だの、命題についての用語を知っていて、私に対して、自信満々に反論してきました。私が、「裏でも逆でもなくて否定だ」と２度も言ってやっと自分の誤解に気づきました。
私はそれなりに自分の見解に自身があるので、たちこまさんの反論には対抗できますが、もしたちこまさんの立場が教師か塾の講師で私が生徒だったらどのような展開になったでしょうか。
命題の部分は、他の数学分野と違って「自分がわかっていない」ことがわからないことがあるのです。そこが、微積分などと違うところです。実際、たちこまさんは、裏だの逆だの、命題についての用語を知っていて、私に対して、自信満々に反論してきました。私が、「裏でも逆でもなくて否定だ」と２度も言ってやっと自分の誤解に気づきました。
私はそれなりに自分の見解に自身があるので、たちこまさんの反論には対抗できますが、もしたちこまさんの立場が教師か塾の講師で私が生徒だったらどのような展開になったでしょうか。
28で発言されているTaroさん。
カワイさん。
議論がおかしな方向に行ってしまってすみません。
ついでに立ちこまさんへの苦言なのですが、これまでこういうことを書くと売り言葉に買い言葉になって、どこが問題だったのかわからなくなるので控えてきましたが、たちこまさんが仮免の問題を最初の段階から根本的に誤解していることがわかりましたので、以下気になった点を書きます。
＞数学は，理屈はこねても，屁理屈はこねません．
これは、「数学は屁理屈が必要だ」という事に対する反論であるなら、全くピントはずれです。私やでかぱんさんは、あえて「屁理屈」という言葉を使っているが、文字通りの世間で言うところの「屁理屈」とは違うことぐらい、文脈からわかるはずです。文脈を読まないで文字通りの意味として解釈したなら、仮免の問題も文字通りに解釈すれば、真であることはわかると思いますが。
＞数学において「簡潔に，過不足無く記す」と言うのは，常識とか合意による慣習なのですか？私は慣習というよりは，数学の根本ではないかと思うのですが．．．
数学において、なるべく絞り込みたいと考えるのは数学をやっている者の性です。ある条件だとＰがいえる。としたときに、ある条件が言えない場合はどうか？条件をゆるめられるのか？ある条件を満たさないでＰが成立することがあるのか、などを探ることになります。
その話と、「方程式を解け」というのは「方程式が成り立つ必要かつ十分な条件を満たせ」と解釈するのは慣例かどうか、という話は全く別次元のことです。
「５０キロ規制の道路で１５０キロ出してはいけない」○か×か、という話をしているときに、「そんなスピード出すのは危険だ」と言うようなものです。
以下は、両者の発言の抜粋。
たちこまさん
＞「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はありません．
（ここをご理解いただけないと，議論が進まないのですが．．．）
私
＞おっしゃっていることがよくわからないのですが、
たちこまさん
＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
私
＞わかりにくいのですが、わたしは最初から、裏とか逆とかは言っていません。
「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理というのも、いったい何を指していっているのかわかりません。
たちこまさん
＞いまいち，何を仰りたいのか，理解できませんが
私
＞わたしの命題は裏ではないということですが、全くその通りで、裏を提示したつもりはありません。まして、「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」などというような有りもしない「定理」を使ってはいません。
私の提示したのは、否定命題 です。
たちこまさん
＞私の勘違いでした．すいません．
私は同じ事を２度書いたわけですが、なぜ一度目で気づかないのでしょうか？たちこまさんは私の書き込みをちゃんと読んでいるのだろうかという疑念が出てくるのですが。
また、私と見解が違うということで、自分の見解を書いて論拠を示すのはいっこうに構わないのですが、「自分と見解が違う」＝「相手が根本的な勘違いをしている」と結論づけるのは安易すぎるのではないでしょうか？
わたしは、そもそもたちこまさんが何を言いたいのかわからなかったので、「たちこまさんこそ勘違いしている」とは書きませんでた。
しかし、やりとりをしてたちこまさんが根本的な勘違いをしていると確信したので、「たちこまさんが勘違いしている」と書きました。
「自分は論理のイロハをわかっていないのかもしれない。自分が勘違いしているのかもしれない」という可能性もあり得ることも自覚して、自分の主張の正当性を検証してみてはどうでしょうか？
まあこういうのは、「おまえこそ勘違いしている」となって水井掛け論になる可能性が高いのですが、いったん自分の意見と他人の意見を遠くから客観的に見ることも必要だと思います。
私自身も。たちこまさんから書き込みがあり、「俺が何か間違っているのかな？」と何度も読み返しました。
他人を問うというのは、自分も問われるのだと思います。
カワイさん。
議論がおかしな方向に行ってしまってすみません。
ついでに立ちこまさんへの苦言なのですが、これまでこういうことを書くと売り言葉に買い言葉になって、どこが問題だったのかわからなくなるので控えてきましたが、たちこまさんが仮免の問題を最初の段階から根本的に誤解していることがわかりましたので、以下気になった点を書きます。
＞数学は，理屈はこねても，屁理屈はこねません．
これは、「数学は屁理屈が必要だ」という事に対する反論であるなら、全くピントはずれです。私やでかぱんさんは、あえて「屁理屈」という言葉を使っているが、文字通りの世間で言うところの「屁理屈」とは違うことぐらい、文脈からわかるはずです。文脈を読まないで文字通りの意味として解釈したなら、仮免の問題も文字通りに解釈すれば、真であることはわかると思いますが。
＞数学において「簡潔に，過不足無く記す」と言うのは，常識とか合意による慣習なのですか？私は慣習というよりは，数学の根本ではないかと思うのですが．．．
数学において、なるべく絞り込みたいと考えるのは数学をやっている者の性です。ある条件だとＰがいえる。としたときに、ある条件が言えない場合はどうか？条件をゆるめられるのか？ある条件を満たさないでＰが成立することがあるのか、などを探ることになります。
その話と、「方程式を解け」というのは「方程式が成り立つ必要かつ十分な条件を満たせ」と解釈するのは慣例かどうか、という話は全く別次元のことです。
「５０キロ規制の道路で１５０キロ出してはいけない」○か×か、という話をしているときに、「そんなスピード出すのは危険だ」と言うようなものです。
以下は、両者の発言の抜粋。
たちこまさん
＞「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はありません．
（ここをご理解いただけないと，議論が進まないのですが．．．）
私
＞おっしゃっていることがよくわからないのですが、
たちこまさん
＞にしひろさんが仰っている命題は裏ではありませんし，そもそも「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理はないので，仰る議論は成立していません．
私
＞わかりにくいのですが、わたしは最初から、裏とか逆とかは言っていません。
「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」という定理というのも、いったい何を指していっているのかわかりません。
たちこまさん
＞いまいち，何を仰りたいのか，理解できませんが
私
＞わたしの命題は裏ではないということですが、全くその通りで、裏を提示したつもりはありません。まして、「任意の命題が偽であるならば，その裏や逆が真である」などというような有りもしない「定理」を使ってはいません。
私の提示したのは、否定命題 です。
たちこまさん
＞私の勘違いでした．すいません．
私は同じ事を２度書いたわけですが、なぜ一度目で気づかないのでしょうか？たちこまさんは私の書き込みをちゃんと読んでいるのだろうかという疑念が出てくるのですが。
また、私と見解が違うということで、自分の見解を書いて論拠を示すのはいっこうに構わないのですが、「自分と見解が違う」＝「相手が根本的な勘違いをしている」と結論づけるのは安易すぎるのではないでしょうか？
わたしは、そもそもたちこまさんが何を言いたいのかわからなかったので、「たちこまさんこそ勘違いしている」とは書きませんでた。
しかし、やりとりをしてたちこまさんが根本的な勘違いをしていると確信したので、「たちこまさんが勘違いしている」と書きました。
「自分は論理のイロハをわかっていないのかもしれない。自分が勘違いしているのかもしれない」という可能性もあり得ることも自覚して、自分の主張の正当性を検証してみてはどうでしょうか？
まあこういうのは、「おまえこそ勘違いしている」となって水井掛け論になる可能性が高いのですが、いったん自分の意見と他人の意見を遠くから客観的に見ることも必要だと思います。
私自身も。たちこまさんから書き込みがあり、「俺が何か間違っているのかな？」と何度も読み返しました。
他人を問うというのは、自分も問われるのだと思います。
>にしひろさん
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の否定命題として、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
と仰っておられて，かつ，これが偽であると仰られていますよね？
しかし，「仮免で運転する場合，免許取得２年の者の同乗は必要でない」ので，「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」という命題は真である．と私は言っています．
いろいろと仰っていますが，私もにしひろさんが問題を正確に捉えることが出来ているのか，疑問ですし，これ以上この不毛な議論を続けてもしかたないので，このトピックに関して，私はこれ以上発言しません．ご自身で勉強してください．
「仮免で運転するには、免許取得年数２年以上の者の同乗が必要」
の否定命題として、
「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」
と仰っておられて，かつ，これが偽であると仰られていますよね？
しかし，「仮免で運転する場合，免許取得２年の者の同乗は必要でない」ので，「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」という命題は真である．と私は言っています．
いろいろと仰っていますが，私もにしひろさんが問題を正確に捉えることが出来ているのか，疑問ですし，これ以上この不毛な議論を続けてもしかたないので，このトピックに関して，私はこれ以上発言しません．ご自身で勉強してください．
＞「仮免で運転する場合でも、免許取得２年以上の者の同乗が必要でないことがある」という命題は真である．と私は言っています．
なんでこれが真なのか全く理解できません。「必要でないことがある」とは、いかなる場合なのか？どういう時に、２年以上の者が同乗してない状態で仮免での公道の運転が可能なのか？
＞いろいろと仰っていますが
「いろいろ」と一括しての具体的内容については何も答えてないですね。
「裏ではなく否定命題だ」と２回も指摘してやっと気づいたことに関して、「人の書き込みをちゃんと読んでいるのか？」という疑問に関して。
「Ｐ ならば Ｑ」の否定が、「Ｐ ならば Ｑでない」ではないという私の指摘に関して。
「Ｐ ならば Ｑ」の否定が「Ｐ ならば Ｑでない」であるなら、元の命題、否定命題ともに偽であることがありえる。
「偶数ならば４の倍数」「偶数ならば４の倍数ではない」
しかし、命題と否定命題は、一方が真なら他方が偽、一方が偽なら他方が真となっているはずで、おかしいと気づきそうなそうなものだが。
まあ、お互いが「おまえが勘違いしている」と言い合った場合、相手を納得させるのは難しいのでしょうが、たちこまさんには、形式論理の初歩的を勉強して、ご自身の勘違いを認識してほしいとは思いますが、私がいっても馬耳東風でしょうね。
＞仮免の例のような具体例を出す必要があったのでしょうか？？？？？
仮免の例は、数学での命題論理とは縁遠そうな免許試験で、こういう例があったとして出したまででした。たちこまさんの反応は予想外のものでした。
この問題は免許の問題としては前述の理由で、不適切かもしれませんが、命題について理解しているかどうかを試す問題としては適していると、この間のやりとりで感じました。
なんでこれが真なのか全く理解できません。「必要でないことがある」とは、いかなる場合なのか？どういう時に、２年以上の者が同乗してない状態で仮免での公道の運転が可能なのか？
＞いろいろと仰っていますが
「いろいろ」と一括しての具体的内容については何も答えてないですね。
「裏ではなく否定命題だ」と２回も指摘してやっと気づいたことに関して、「人の書き込みをちゃんと読んでいるのか？」という疑問に関して。
「Ｐ ならば Ｑ」の否定が、「Ｐ ならば Ｑでない」ではないという私の指摘に関して。
「Ｐ ならば Ｑ」の否定が「Ｐ ならば Ｑでない」であるなら、元の命題、否定命題ともに偽であることがありえる。
「偶数ならば４の倍数」「偶数ならば４の倍数ではない」
しかし、命題と否定命題は、一方が真なら他方が偽、一方が偽なら他方が真となっているはずで、おかしいと気づきそうなそうなものだが。
まあ、お互いが「おまえが勘違いしている」と言い合った場合、相手を納得させるのは難しいのでしょうが、たちこまさんには、形式論理の初歩的を勉強して、ご自身の勘違いを認識してほしいとは思いますが、私がいっても馬耳東風でしょうね。
＞仮免の例のような具体例を出す必要があったのでしょうか？？？？？
仮免の例は、数学での命題論理とは縁遠そうな免許試験で、こういう例があったとして出したまででした。たちこまさんの反応は予想外のものでした。
この問題は免許の問題としては前述の理由で、不適切かもしれませんが、命題について理解しているかどうかを試す問題としては適していると、この間のやりとりで感じました。
僕も議論から外れてきていると思い、我慢できなかったので自分の意見を述べました。
さらに意見を述べさせていただきます。教科書に問題があるといいますが、僕はまったく問題はないと思います。『必要条件』か『十分条件』か『必要十分条件』の３つの選択肢があるのに『必要条件であり十分条件である』という答え方はいかがなものでしょう。
『必要条件』と『十分条件』の２つの選択肢ならばそのように答えて○でしょう。
では、『必要十分条件』の定義は何ですか？『必要条件であり十分条件でもあるもの』を『必要十分条件』というのではないですか？
もう少しそれぞれの条件定義を分かってほしいです。
みなさんに失礼な発言をしている事に対してはあやまります。
しかし、教える側にとっては与えられている語句に対していち早く理解し、分かりやすく生徒に伝える。それが教育者なのではないでしょうか。
条件１つ取っても同じことだと思います。
何故『必要条件』『十分条件』『必要十分条件』の３つが選択肢としてあるのか。それを考えれば分かる事だと思いますが。
さらに意見を述べさせていただきます。教科書に問題があるといいますが、僕はまったく問題はないと思います。『必要条件』か『十分条件』か『必要十分条件』の３つの選択肢があるのに『必要条件であり十分条件である』という答え方はいかがなものでしょう。
『必要条件』と『十分条件』の２つの選択肢ならばそのように答えて○でしょう。
では、『必要十分条件』の定義は何ですか？『必要条件であり十分条件でもあるもの』を『必要十分条件』というのではないですか？
もう少しそれぞれの条件定義を分かってほしいです。
みなさんに失礼な発言をしている事に対してはあやまります。
しかし、教える側にとっては与えられている語句に対していち早く理解し、分かりやすく生徒に伝える。それが教育者なのではないでしょうか。
条件１つ取っても同じことだと思います。
何故『必要条件』『十分条件』『必要十分条件』の３つが選択肢としてあるのか。それを考えれば分かる事だと思いますが。
私は正方形が、特殊な長方形であり、特殊な菱形であるという認識と同様に、必要十分条件は、必要条件であり同時に十分条件であるので、「必要十分条件」と当てはまる部分には、「必要条件」、「十分条件」も当てはまるわけで、「必要十分条件」のみを正解とするよりは、「適当な語句はどれか？すべて挙げよ」として、３つを挙げることが正解とすることがいいと考えます。
（ｘの２乗）＝９ の解として、ｘ＝３、ー３ とするの同様な考えです。
「必要十分条件」は「必要条件かつ十分条件」だから、それだけでいいという考えもあるかもしれませんが、「必要十分条件は必要条件ではない」というような誤った認識を避けるためにも、こうした方がいいと思います。
実際、このような誤解は十分あり得ます。教科書に掲載されていた問題で「必要十分条件」のみを答えることにしていると、そのような誤解があらためられないと思います。
既約分数にすることなどの暗黙の了解に関しては、
２／４が、１／２と量として同じであることは、多くの人が認識しているので、問題ないかと思います。
それから、命題を一通り習った段階の高校生に
「１＋１は、２または３である」は、真か？偽か？、
と訊くと、「偽」と答える生徒が多いです。
「『または』というのは、少なくとも一方が真なら真だから、この場合は真」と説明するのですが、
「過不足なく答える」ということと、「命題としての真偽」は別であることは、認識させるべきだと思います。
これは他の単元の具体的な問題の際にも重要となります。
例えば、f(x)の最小値を求めよというような問題で、
式をいろいろいじっているうちに、f(x)≧２ というのが出てきたとします。ここで、「最小値は２」としてしまう生徒が多いのです。「２以上でなくてはならないが、２以上の値なら取りうる、とは限らない」ということが十分に理解されていないのです。
不等式の問題は「過不足なく記述する」という意識はあまりなく、ほとんど無意識に、４ｘ≧１２ には x≧３ と解答しますが、上述のような問題の際には、その辺の意識化が必要だと思います。
そういうことから、特に命題の単元では、「過不足ない解答を選択するのが常識」とするのではなく、あえて「過不足ある解答はどうか？」と吟味する必要があると思います。
（ｘの２乗）＝９ の解として、ｘ＝３、ー３ とするの同様な考えです。
「必要十分条件」は「必要条件かつ十分条件」だから、それだけでいいという考えもあるかもしれませんが、「必要十分条件は必要条件ではない」というような誤った認識を避けるためにも、こうした方がいいと思います。
実際、このような誤解は十分あり得ます。教科書に掲載されていた問題で「必要十分条件」のみを答えることにしていると、そのような誤解があらためられないと思います。
既約分数にすることなどの暗黙の了解に関しては、
２／４が、１／２と量として同じであることは、多くの人が認識しているので、問題ないかと思います。
それから、命題を一通り習った段階の高校生に
「１＋１は、２または３である」は、真か？偽か？、
と訊くと、「偽」と答える生徒が多いです。
「『または』というのは、少なくとも一方が真なら真だから、この場合は真」と説明するのですが、
「過不足なく答える」ということと、「命題としての真偽」は別であることは、認識させるべきだと思います。
これは他の単元の具体的な問題の際にも重要となります。
例えば、f(x)の最小値を求めよというような問題で、
式をいろいろいじっているうちに、f(x)≧２ というのが出てきたとします。ここで、「最小値は２」としてしまう生徒が多いのです。「２以上でなくてはならないが、２以上の値なら取りうる、とは限らない」ということが十分に理解されていないのです。
不等式の問題は「過不足なく記述する」という意識はあまりなく、ほとんど無意識に、４ｘ≧１２ には x≧３ と解答しますが、上述のような問題の際には、その辺の意識化が必要だと思います。
そういうことから、特に命題の単元では、「過不足ない解答を選択するのが常識」とするのではなく、あえて「過不足ある解答はどうか？」と吟味する必要があると思います。
「ｘが５の倍数ならば、２ｘは偶数」という命題は、真です。
一方で奇異な感じもします。５の倍数でなくても、整数なら２倍したら偶数なのだから。なぜ、あえて「５の倍数ならば」などというのか？と。
つまり、命題の真偽は、日常的言語とは異なる面があります。
「今年になってから東京に行っていない」というと、日常言語では「それ以前は東京に行った」ことを含意しますが、数学的解釈では、文字通り「今年に関してみると、東京に行っていない」というだけで、実は生まれてから一度も東京に行ったことがない可能性もあります。
私は命題の単元では、普段無意識にやっている、行間を読む、真意を読む、という事からいったん離れて、「文字通りに解釈する」ということを理解する必要があると思います。
一方で奇異な感じもします。５の倍数でなくても、整数なら２倍したら偶数なのだから。なぜ、あえて「５の倍数ならば」などというのか？と。
つまり、命題の真偽は、日常的言語とは異なる面があります。
「今年になってから東京に行っていない」というと、日常言語では「それ以前は東京に行った」ことを含意しますが、数学的解釈では、文字通り「今年に関してみると、東京に行っていない」というだけで、実は生まれてから一度も東京に行ったことがない可能性もあります。
私は命題の単元では、普段無意識にやっている、行間を読む、真意を読む、という事からいったん離れて、「文字通りに解釈する」ということを理解する必要があると思います。
遅ればせながら、この間議論が本筋からはずれてしまい、みなさん、すみませんでした。ただ、私としては名指しで「勘違いしている」と指摘された以上、勘違いではないことを弁明せずにはいられなかったことをご理解下さい。（他の方は２人のやりとりをどう見ていたのかは、気になるところではありますが）
＞行間を読むことが必要だと僕は思うのですけど、如何でしょうか？
それも一つの意見としては理解できます。ただ私は、最初に出した問題はともかくとしても、
以下の文は、正しいか否か？
「ｘ＞２ は ２ｘ＞４ であるための十分条件」
というような問題、（正解は「正しい」です）をやらせるなどして、逆が成立するなら必要十分条件だが、逆が成立しようがしまいが、「ｘ＞２ ならば ２ｘ＞４ 」だから、「ｘ＞２」は十分条件であることはただしいなどを、確認すべきだと思います。
というのは、前述のようなf(x)の最小値を求めよというような問題で、なぜ間違うかというと、この命題の部分がしっかり理解できてないからと思います。
ｘを正の実数として、 ｘ＋（１／ｘ）の最小値を求める場合、相加相乗で、ｘ＋（１／ｘ）≧２ としたあとに、「ｘ＝１のとき最小値２をとる」というのも、お約束で最小値をとるｘを示さなくてはならない、というよりも、「実際に２になることがあり得ることを示さなくてはならない」という必要性からなのですが、その辺もあまり意識しないでやっている場合が多いかと思います。
要するに、「満たさなくてはならない」というのと、「実際にその値をとれる」ことの違い、特殊が一般に含まれるということ、そういったことを命題の単元できっちり押さえることが必要だと思います。
連立２次不等式で生徒が混乱するのも、「ｘ＜２、３＜ｘ」は「または」でつながっている、「２＜ｘ＜３」は「かつ」でつながっているという認識が曖昧であることが原因の一つと考えます。
巧みに置換して積分をやるとか、そういうことも重要だと思いますが、数学全般を支える根幹とも言える論理の部分をもう少しきっちりと、「屁理屈」をこねて教える必要があると思います。
「行間を読まないで文字通り解釈」することで美しい、理路整然とした世界が広がると思うのですが。
＞行間を読むことが必要だと僕は思うのですけど、如何でしょうか？
それも一つの意見としては理解できます。ただ私は、最初に出した問題はともかくとしても、
以下の文は、正しいか否か？
「ｘ＞２ は ２ｘ＞４ であるための十分条件」
というような問題、（正解は「正しい」です）をやらせるなどして、逆が成立するなら必要十分条件だが、逆が成立しようがしまいが、「ｘ＞２ ならば ２ｘ＞４ 」だから、「ｘ＞２」は十分条件であることはただしいなどを、確認すべきだと思います。
というのは、前述のようなf(x)の最小値を求めよというような問題で、なぜ間違うかというと、この命題の部分がしっかり理解できてないからと思います。
ｘを正の実数として、 ｘ＋（１／ｘ）の最小値を求める場合、相加相乗で、ｘ＋（１／ｘ）≧２ としたあとに、「ｘ＝１のとき最小値２をとる」というのも、お約束で最小値をとるｘを示さなくてはならない、というよりも、「実際に２になることがあり得ることを示さなくてはならない」という必要性からなのですが、その辺もあまり意識しないでやっている場合が多いかと思います。
要するに、「満たさなくてはならない」というのと、「実際にその値をとれる」ことの違い、特殊が一般に含まれるということ、そういったことを命題の単元できっちり押さえることが必要だと思います。
連立２次不等式で生徒が混乱するのも、「ｘ＜２、３＜ｘ」は「または」でつながっている、「２＜ｘ＜３」は「かつ」でつながっているという認識が曖昧であることが原因の一つと考えます。
巧みに置換して積分をやるとか、そういうことも重要だと思いますが、数学全般を支える根幹とも言える論理の部分をもう少しきっちりと、「屁理屈」をこねて教える必要があると思います。
「行間を読まないで文字通り解釈」することで美しい、理路整然とした世界が広がると思うのですが。
>「日常的言語」を使用するのではなく、数学的に簡潔なものにするべきってことですね。
そうですね。もちろん、厳密に正確に書くのが非常に困難な場合もあるし、それは仕方ないとは思いますが。
あと、暗黙の了解についてですが、今の学校では問題を見て、解法パターンを当てはめていくという生徒が多いです。それもまあ仕方ないかなと思うのですが、前述のように、それが数学的必然性があってのことか、慣習だからか、あまり意識はしないのです。
しかし、分母を有理化するとか、定数項より文字の項は左に置く、というような事と、
相加相乗で最小値を求めた場合に、最小値をとるｘを求める、というような事と、
両者は重みが違うと思うのです。前者は慣習。後者はそれがないと、最小値になることを示していないことになる。ところがその区別は生徒はおそらくしていないと思う。
そうすると、数学というのがある種の暗記科目になってしまう危険があると思います。
私は単に「ｙの最小値を求めよ」とうだけなら、必要性がないならｘの値を示さなくていいと思います。ただ、模範解答の多くは、「ｘ＝３ のときに 最小値４をとる」というようになっているし、必要性の有無を判断して書く・書かないとするよりもとりあえず書いといた方が無難だから、「ｘの値も書くように」と指導はしますが、本当は必要性の有無を判断することの方が重要だと思います。
９本のくじ引きのうち、２本が当たり。ＡとＢがこの順番でくじを引く。Ｂがの当たりくじを引く確率を求めよ。
模範解答は、Ａが当たりくじを引く場合と、はずれる場合で場合分けをしてそれぞれについてＢが当たりを引く確率を計算して、足して求めている。
で、定期試験では、そのようなやり方でないと正答としない、という指導をする高校がある。
確率をちゃんと理解していて、「まだＡが引いてそれを見ていない段階では、Ｂが９本のどれを引くかはランダムだから、２／９」としたら、×になるという。
こうなってしまうと、与えられた問題を自分の能力で最大限簡潔な方法を見つけ解答に行き着く、という事ではなくなってしまう。
もしどうしても場合分けによる解法をさせたければ、場合分けをしないと解けない問題を作ればいいと思うのだが。
あるいは、場合分けの方法でも結果的に２／９になることを示し、３人目、４人目の人でも、場合分けによる計算結果が２／９になことを証明させ、さらに、ｎ本のうちｍ本があたりで、ｎ人が順番にくじを引いたときに、場合分けによる確率の計算結果が、ｍ／ｎになることを一般的に証明させるとかなら面白いと思うのだが。
長々と書いてしまったが、要は今の数学教育が、解法パターンを覚えて適用する、という傾向があるのでは、と危惧するのです。「その方が生徒もその方が理解しやすい」という理由もあると思う。
確かに、ｙの最小値を求める問題で、必要性の有無でｘの値を書いたり書かなかったり、というより一律に「書く」と指導した方が生徒も混乱しないと思う。
しかし、より深く理解しているが故に、ｘの値を書く必要がなければ書かないとか、くじ引きの問題は場合分けするまでもなく２／９だという生徒にまで、一律の解答を求めるのは疑問である。
要するに、数学は、もっと考える学問だったはずでは、という事です。
そうですね。もちろん、厳密に正確に書くのが非常に困難な場合もあるし、それは仕方ないとは思いますが。
あと、暗黙の了解についてですが、今の学校では問題を見て、解法パターンを当てはめていくという生徒が多いです。それもまあ仕方ないかなと思うのですが、前述のように、それが数学的必然性があってのことか、慣習だからか、あまり意識はしないのです。
しかし、分母を有理化するとか、定数項より文字の項は左に置く、というような事と、
相加相乗で最小値を求めた場合に、最小値をとるｘを求める、というような事と、
両者は重みが違うと思うのです。前者は慣習。後者はそれがないと、最小値になることを示していないことになる。ところがその区別は生徒はおそらくしていないと思う。
そうすると、数学というのがある種の暗記科目になってしまう危険があると思います。
私は単に「ｙの最小値を求めよ」とうだけなら、必要性がないならｘの値を示さなくていいと思います。ただ、模範解答の多くは、「ｘ＝３ のときに 最小値４をとる」というようになっているし、必要性の有無を判断して書く・書かないとするよりもとりあえず書いといた方が無難だから、「ｘの値も書くように」と指導はしますが、本当は必要性の有無を判断することの方が重要だと思います。
９本のくじ引きのうち、２本が当たり。ＡとＢがこの順番でくじを引く。Ｂがの当たりくじを引く確率を求めよ。
模範解答は、Ａが当たりくじを引く場合と、はずれる場合で場合分けをしてそれぞれについてＢが当たりを引く確率を計算して、足して求めている。
で、定期試験では、そのようなやり方でないと正答としない、という指導をする高校がある。
確率をちゃんと理解していて、「まだＡが引いてそれを見ていない段階では、Ｂが９本のどれを引くかはランダムだから、２／９」としたら、×になるという。
こうなってしまうと、与えられた問題を自分の能力で最大限簡潔な方法を見つけ解答に行き着く、という事ではなくなってしまう。
もしどうしても場合分けによる解法をさせたければ、場合分けをしないと解けない問題を作ればいいと思うのだが。
あるいは、場合分けの方法でも結果的に２／９になることを示し、３人目、４人目の人でも、場合分けによる計算結果が２／９になことを証明させ、さらに、ｎ本のうちｍ本があたりで、ｎ人が順番にくじを引いたときに、場合分けによる確率の計算結果が、ｍ／ｎになることを一般的に証明させるとかなら面白いと思うのだが。
長々と書いてしまったが、要は今の数学教育が、解法パターンを覚えて適用する、という傾向があるのでは、と危惧するのです。「その方が生徒もその方が理解しやすい」という理由もあると思う。
確かに、ｙの最小値を求める問題で、必要性の有無でｘの値を書いたり書かなかったり、というより一律に「書く」と指導した方が生徒も混乱しないと思う。
しかし、より深く理解しているが故に、ｘの値を書く必要がなければ書かないとか、くじ引きの問題は場合分けするまでもなく２／９だという生徒にまで、一律の解答を求めるのは疑問である。
要するに、数学は、もっと考える学問だったはずでは、という事です。
＞小学校の「正方形は真四角、長方形は長四角」と中学校の「正方形は４辺が等しい長方形」は義務教育という形で繋がっているので、小学校の段階から正方形も長方形の一種として教えるべきだと思いますね。
正確には、小学校では「長方形は４つの角が直角」で、正方形がこれにはいるかどうかは、曖昧にしています。
私は「正方形は長方形だ教える」なら、ちゃんと教えてほしいし、曖昧にするなら、徹頭徹尾一貫して曖昧さを貫いてほしい。
ちなみに、小学校の教科書では例えば、「立方体は正方形の面でできた立体」「直方体は正方形や長方形の面でできた立体」としてあり、正方形を長方形と見なしても見なさなくても矛盾しないようになっている。正方形を長方形と見なす立場だと、当然、立方体は直方体に含まれることになる。
文科省は曖昧政策だが、これも仕方ないと思う。人間は動物だったり、動物でなかったり、「酒にするか、ビールにするか」と「酒は飲みますか？」の「酒」は、日本酒の意味だったりアルコール類一般だったり、言葉の意味は使われる状況で変わる。年齢を重ねればこういうことは当然理解できるが、小学生当たりだと混乱するかもしれない。
で、世間的には正方形は長方形とは区別するのが普通であるわけで、「算数の世界では正方形は長方形の一種」といった場合、生徒が混乱するという懸念も理解できる。
森毅が「世間一般では増加関数を比例、減少関数を反比例といっている」と言っていて、確かにそうだと気づいたが、「声の大きさは内容に反比例する。」「声の大きさは内容の空疎さに比例する」というようなことを聞いても、特に混乱することもない。しかし、比例・反比例を習ったばかりの生徒だと混乱するかもしれない。
高校生なら数学言語は世間言語とずれがあることを明示した方がいいと思う。
名前の由来はともかく、直線は曲線の一種、円は楕円の一種、とした方が、「直線や曲線」といちいち書かなくて済み、記述も簡潔になる。
正確には、小学校では「長方形は４つの角が直角」で、正方形がこれにはいるかどうかは、曖昧にしています。
私は「正方形は長方形だ教える」なら、ちゃんと教えてほしいし、曖昧にするなら、徹頭徹尾一貫して曖昧さを貫いてほしい。
ちなみに、小学校の教科書では例えば、「立方体は正方形の面でできた立体」「直方体は正方形や長方形の面でできた立体」としてあり、正方形を長方形と見なしても見なさなくても矛盾しないようになっている。正方形を長方形と見なす立場だと、当然、立方体は直方体に含まれることになる。
文科省は曖昧政策だが、これも仕方ないと思う。人間は動物だったり、動物でなかったり、「酒にするか、ビールにするか」と「酒は飲みますか？」の「酒」は、日本酒の意味だったりアルコール類一般だったり、言葉の意味は使われる状況で変わる。年齢を重ねればこういうことは当然理解できるが、小学生当たりだと混乱するかもしれない。
で、世間的には正方形は長方形とは区別するのが普通であるわけで、「算数の世界では正方形は長方形の一種」といった場合、生徒が混乱するという懸念も理解できる。
森毅が「世間一般では増加関数を比例、減少関数を反比例といっている」と言っていて、確かにそうだと気づいたが、「声の大きさは内容に反比例する。」「声の大きさは内容の空疎さに比例する」というようなことを聞いても、特に混乱することもない。しかし、比例・反比例を習ったばかりの生徒だと混乱するかもしれない。
高校生なら数学言語は世間言語とずれがあることを明示した方がいいと思う。
名前の由来はともかく、直線は曲線の一種、円は楕円の一種、とした方が、「直線や曲線」といちいち書かなくて済み、記述も簡潔になる。
にしひろさん，みなさん，はじめまして
とても興味深く読ませていただきました．ありがとうございます．
授業でこの話をしてみて，くいついてきたら，おもしろいなぁ．などと思いました．混乱はさせたくはないので，様子は見ながらですが．．．
もともとの，
「２Ｘ＝６ は Ｘ＝３ であるための（ ）」
で，生徒が選択肢もしくは書き込みで「必要条件」と書いたとして，×をつけた．生徒は「必要性は成り立っている」と主張．
テストとしては，出題者の意図，もしくは慣習で，「必要十分条件」と書くべきだが，数学的にはそうとも限らないんだと．
とくに，「条件」は「論理」のところで出てくることなので，慣習などよりも，定義や論理にしたがってするべきだと思います．つまり，「必要条件」ってかいても間違いではない（でもベストでもない）．数学的にですね．
論文でも，必要性や十分性だけでいいときには，必要十分を示していないものや，特にある分野での最初の論文なんかでは，最小値・最大値の評価のあまいものもありますよね．これも，正しくないわけではない．そのあと，ベストに向かっていくのが楽しいですよね．
今度のテストのときには，「必要条件ではないが，十分条件である」等々の文で出題しようと思います．
とても興味深く読ませていただきました．ありがとうございます．
授業でこの話をしてみて，くいついてきたら，おもしろいなぁ．などと思いました．混乱はさせたくはないので，様子は見ながらですが．．．
もともとの，
「２Ｘ＝６ は Ｘ＝３ であるための（ ）」
で，生徒が選択肢もしくは書き込みで「必要条件」と書いたとして，×をつけた．生徒は「必要性は成り立っている」と主張．
テストとしては，出題者の意図，もしくは慣習で，「必要十分条件」と書くべきだが，数学的にはそうとも限らないんだと．
とくに，「条件」は「論理」のところで出てくることなので，慣習などよりも，定義や論理にしたがってするべきだと思います．つまり，「必要条件」ってかいても間違いではない（でもベストでもない）．数学的にですね．
論文でも，必要性や十分性だけでいいときには，必要十分を示していないものや，特にある分野での最初の論文なんかでは，最小値・最大値の評価のあまいものもありますよね．これも，正しくないわけではない．そのあと，ベストに向かっていくのが楽しいですよね．
今度のテストのときには，「必要条件ではないが，十分条件である」等々の文で出題しようと思います．
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