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授業の工夫事典!!(塾講師・教師)コミュの【算数・数学科専用トピック】No2

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コミュ内全体

数学トピが、いっぱいで書き込めない状態だったので、僭越ならが私が、トピを立てさせていただきました。

前トピより

算数・数学科に関する疑問や質問はこちらへどうぞ★各科目毎に大分類トピックを設けることにしました。過去のトピックの内容に見あたらない場合は、こちらに書き込みをお願いします。

副管理人より
 いっぱいになりましたので、以下へ
 【算数・数学専用トピック】No.3
  http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=68491871&comm_id=380962

コメント(1000)

>959.よんさん
「高さ10cm」という条件があるので、長さを変えられるのは、
よんさんの展開図での5cmの部分になります。
また、この5cmの部分の辺は短くすることは出来ても長くすることは出来ません。
(長くした場合は「高さ10cm」の条件を満たすことが出来ません)
5cmの辺を4cmにした場合、体積は、
4cm×22cm×10cm=880cm^3
また、5cmの辺を3cmにした場合、体積は、
3cm×24cm×10cm=720cm^3
となるため、この先も体積は減ると考えられるので、
5cm×20cm×10cm=1000cm^3
が最大となる、という説明でどうでしょうか?
>ひよっこ39さん,R-3さん
解説ありがとうございます。
私の理解不足でしたら申し訳ないのですが、お二人の解説とも、展開図が十字形になるという前提でのものではないでしょうか。。

私はこの問題を読んで、>959でも書いたように、展開図の形を自分で模索しなければいけない点が厄介だと感じました。

立方体の展開図は11種ありますが(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%95%E9%96%8B%E5%9B%B3)、さらに10cmをどの位置(向き)に取るのかまで考慮するとなると、どう考えていけば正答の展開図にたどり着けるのか、その考えがまとまらず質問した次第です。

例えば、添付画像のような場合(赤線を10cmとする)よりも体積が大きくなる展開図が考えられることは、なぜ分かるのでしょうか?

一辺を10cmとする長方形の面積はもっと小さくできる。
 ↓
10cmではない二辺(縦と横)に囲まれた長方形の面積がもっと大きくなる。
 ↓
より体積の大きい展開図ができる。

このように考えを進めても、すんなりとは正答の展開図にたどり着けない気がします。
>962.よんさん
直方体の展開図は立方体の展開図よりも種類は減ります。
よんさん提示のウィキペディアのページでの立方体の展開図の場合、
「基本形」の図の左から1、3、5番目の場合でなければ直方体にはなりません。
そのため、展開図の形は十字型もしくはT字型にする方が効率よく考えやすいと思います。
(962の左の展開図も十字型の変形と見ることが出来ます)
あとは963.わたげさんの仰るとおり、長さをどのようにおくかを考え、
体積を計算して比較となりますね。
>わたげさん,R-3さん
再度の質問に答えて頂きありがとうございます。

私が無駄にややこしく考えていただけでしょうか…。
正方形の紙を最も効率よく使うのに適した展開図が十字型やT字型であることは問題を読んだ際にも何となく直観しましたが、本当にそうなのか、なぜそうなるのか、という点が気に掛かり悩んでおりました。その根拠を明確にするには、どう説明すれば良いのかなと。

詰まるところ、長方形を正方形に収めるのだから、向きを揃えて並べないと、正方形の縦横どちらかに余る長さが出来てしまう、という了解で良いのでしょうね。

添付画像で示したように、一見、正方形になるべく余りなく収まっているように見える展開図でも、十字型やT字型の展開図に組み直すことで(合同な長方形の向きを揃えることで)、余白の多いことが分かるという風に、生徒には説明したいと思います。


>965
>「基本形」の図の左から1、3、5番目の場合でなければ直方体にはなりません。
これは“体積を最大にする直方体”にはならない、ということですよね。
(例えば、基本形の左から2番目の場合の展開図は、添付画像に挙げたように考えられますので。)
>966.よんさん
965の
「「基本形」の図の左から1、3、5番目の場合でなければ直方体にはなりません。 」
については撤回します。こちらの勘違いでした。
確かに右の図のようなケースも考えられますね。失礼致しました。
結論に至るまでの説明はそのような感じで良いと思います。
例えば、右の図の場合も、十字型に戻すことで、
高さを変えずに側面積をさらに増やせる→体積を増やせる
ということが分かりますので。
>R-3さん
返信が遅くなりました。勘違いでしたか、了解です。
質問の度に回答して下さりありがとうございましたm(__)m
AD:DB=3:5,
AE:EC=4:3のとき、DF:FCを求めよ。

公立中学3年までの知識で解ける問題らしいのですが...どなたかヒントをください。
> ☆Yuu&Co.☆さん

DからBEに平行線を引けば一瞬です
河合さま

うわっ
一発なのですねたらーっ(汗)

助けていただきました。
ありがとうございましたるんるん
入試問題なのですが、
この問題がどうしてもわかりません。ヒントをください顔(願)

a=2 b=1/2で
四角形PQRSは台形でPS:QR=4:3の時、台形の面積を求める問題で、
答えは49/8ですもうやだ〜(悲しい顔)

よろしくお願いいたします顔(願)
本当に申し訳ありませんもうやだ〜(悲しい顔)
あともう1問わからない問題があります涙
こちらの問題もヒントをお願いします泣き顔


問題は、
BG:QGの比の値は?(答3:1)
△ABCの面積が27であるとき、△GPQの面積は?(答3/2)

のこの2問です涙

わからなすぎて、書かせてもらいました冷や汗
どうか、よろしくお願いいたします顔(願)
> yuriさん
976の問題は条件が1つ抜けてませんか?
図にS(4,8)と書いてあったので勝手に使わせていただきましたあせあせ

台形から、
PとSのy座標は等しいので
x座標がそれぞれ出ると思います。
そしたら線分PSの長さが出て、QRの長さも求められます。

Qの座標を(a,2a^2)とすると
同様にQとRの座標、線分QRの長さがaを用いて表せると思います。

線分QRの長さからaを求め、後は面積を求めるだけですほっとした顔



文章でヒントを書くって意外と難しいですねあせあせ(飛び散る汗)
わかりづらかったらまた質問してくださいぴかぴか(新しい)ぴかぴか(新しい)
> yuriさん
2つ目の問題です手(パー)

(1)
三角形PQGと三角形BBGだけを抜き出してみると思います。

(2)
三角形PQGの面積を1として考えていってみましょう。
次の順番で三角形に注目して、高さの等しい三角形を見つけていきます。

三角形PQB

三角形AQB

三角形APQと三角形ABC


そうすれば三角形PQGと三角形ABCの面積比が求められます。



RとSを全く使ってないので、この回答で大丈夫かが不安ですが…冷や汗
> yuriさん
976の問題ですが、何か条件が抜けていませんか?
例えば、「OT=PT」という条件があれば解けると思います。
点Pと点Qのx座標をそれぞれp・qとおき、
PQRSの各座標を出してみてください。
PS:QR=4:3を使うとqをpで表せるので、
求める台形の面積をpを用いて求められますほっとした顔
みーちじさん、ぼーるさんありがとうございますわーい(嬉しい顔)

条件が抜けていました涙
点Sが(4、8)で、
y軸上に点Tがあり、線分TSはx軸に平行で、TP=PSである。
が抜けていましたもうやだ〜(悲しい顔)


QRの長さは、求めたられたのですが、
台形の高さってどーやって求めたいいのですか

丁寧に説明してくださってるのに、理解できなくてすみませんもうやだ〜(悲しい顔)
> yuriさん
(Pのy座標)−(Qのy座標)が高さです手(パー)
みーちじさん、ぼーるさん、
ありがとうございましたわーい(嬉しい顔)
無事教えることができました(^o^)/
とても助かりましたわーい(嬉しい顔)
 今、算数・数学の理解の本質とは無関係な慣習的ルールについて、興味を持っていろいろ調べています。

 文字式の場合、「数字が文字の前」というのは、中学教科書に明記されていましたが、

降べきの順 という指定は特にありませんでした。それどころか教科書の
「次の式の項をいいなさい。また、文字をふくむ項の係数をいいなさい。」という問題で、「4−x」というのがありました。

降べきの順というのは、不文律なんでしょうかね?

もう一つ、「1つの項に複数の文字が入った場合はアルファベット順」という慣習はありますか?

ネット上で、「アルファベット順にしなくて不正解にされた」という記述を見て、「そういえば昔そんなこといわれたような気もするが覚えていないな・・・」、と気になりました。

確かに、 xa よりは ax の方がしっくりくるが、
ab+bc+ac よりは ab+bc+ca の方がしっくりくる。

アルファベット順なんて、本質とは無関係などどうでもいい事だとは思うのですが、

明文化されたものはなくても、何となくそういうのが噂レベルでもあるのか、そもそも、「アルファベット順」などというのは、まったくなくて、単なる私の思い違いで、ネットの書き込みは極めて希な例なのか、

そのあたりのことを知りたいと思います。

みなさんは、聞いたことありますか?

>986

東京書籍「新しい数学1」(平成15年発行)
51ページ に
「注意 b×aはbaであるが,このような場合,文字をアルファベット順に並べ,abと書くことが多い。」とあります。

私も,中学生に教えていたとき,「これが原則で,例外はある」と教えていました。
塾用テキストなどにも,こう書いてありますし,こう書いています。
>メタメタ さん

どうも有り難うございます。中学生用の教科書ですよね?


あと、降べきの順については、どうでしょうかね。

さらに、「分母の有理化」もどうも、明確な記述はありませんでした。


「1/√2のような分母に根号をふくむ数では、分母に根号をふくまない形になおしておくと、およその値が求めやすくなります。」
「次の数を、分母に根号をふくまない形になおしなさい。」
(学校図書 中学数学3)

1÷1.41 よりも 1.41÷2 の方が計算しやすいというはなしと、問題として分母を有理化しろというのだけ。

どうも、「分母を有理化すべき」というのは、漢字の書き順みたいなもののようですね。

東京書籍「新しい数学1」(平成15年発行)は,中学1年用の教科書です。

降べきについては,古い参考書ですが,
「中学数学の基本事項?」(中3用です)駿台文庫,1986年改訂版,12頁に
「昇べきの順・降べきの順 
多項式は,項を次数の順に整理しておくのがふつうである。次数の高い項から並べることを降べきの順に整理する,低い順から並べることを昇べきの順に整理する,という。
 特にことわっていなければ,降べきの順に整理しておくのがふつうである。」
とあります。

「有理化」については,ゆとり教育でこの用語は,中学教科書から消えたようですが,東京書籍「新しい数学3」(平成15年発行)では,「分母に根号がない形に表しなさい」という表現がありました。
 東京書籍・昭和64年版では,「分母の有理化」という項目があり,「分母に根号があるとき,分母に根号がない数に変形することができる。このように変形することを,分母を有理化するという」とあります。
 「有理化」は,分数の「約分」みたいな感じで,それよりはゆるいきまりみたいな感じに思っていました。
>メタメタさん

どうも有り難うございます。

>「分母に根号がない形に表しなさい」

これは、問題で「1/√2を分母に根号がない形にしなさい」ということではなく、一般的に「そうしなさい」という記述でしょうか?
>990

あ,すみません。
省略し過ぎでした。
問題文の一部です。
「問8 次の数を分母に根号がない形に表しなさい。」
という問題文での表現です。
>問題文の一部です。

そうすると、やはり分母の有理かが望ましいという記述は今のところなさそうですね。

逆の問題、分子を有理化しろ、ってのはないので、「有理化した方がいいよ」というかすかな空気は感じられないことはない、ということかな。
こんにちはexclamation ×2

現在、中学校で数学を教えている者です。

今度、中1の授業で『文字式』の導入をやるのですが、何かよい教材はないでしょうか?


今、私が考えてるのはマッチ棒を使って四角形を作り、a個の四角形を作るには3×a+1本のマッチ棒が必要だ……という事をしています。

ただ、あまりこの例は身近なものではなく、また、子供たちも理解し難いかも…と考え、よりよい教材を探しています。


よろしくお願いします。
> すぎなみ@漆黒の神さん

具体的にどういう事を目標に考えているんでしょうか?
マッチ棒と四角形でも何でもいいですが、1つ2つ例を説明して、その後に生徒全員に例題を作らせてみるというのではどうでしょうか?
つまり「うまい例題が作れたかどうか」で理解度を測るのです。

例題は一人に1枚ずつ紙を配ってそれに書かせ、書いたものを6人1組程度のグループで回し読みをさせて、「6人の中で誰の例題が一番ユニークだったか」を決めさせます。各グループで最もユニークだった例題を発表してもらい、それらを使って授業の続きをする...というのはどうでしょうか?

もちろん例題を作らせる際には、「できるだけユニークな例題を考えて下さい」と指示することと、制限時間を決めておく必要はあると思います。

書いてもらった例題は回収して、生徒たちが理解できていたかどうかのチェックに使ってもよいですし、「マッチ棒」以外に最初の例題の説明にふさわしい題材をそこから探してもいいし、回収しなくてもよいとも思います。
文字式の導入だと

自分は塾講師で数学は専門じゃないのですが

おうぎ形からおうぎ形を引いて求める図形の面積
でやります

9×9×3.14÷4−6×6×3.14÷4

こういう計算も
π
という記号を使うと比較的ラクに計算出来る

だから、πとかXとかYとか記号使って考えていこう
ヨーロッパの数学はこういう記号をどんどん使って考えるようにしてから発達した面あるんだよ
とも

みたいな導入です

皆さん
中学生になったばっかりで
なぜ文字式なんてやらされるの
という気持ちが
数学嫌いの子にはあるので
少しでも意味を分かってもらうということで
皆さん、ご返答ありがとうございますexclamation ×2


一応、目標、というか、ねらいは『文字を使う良さを理解させる』で、私の勤める中学校はあまり学力の高くない公立学校です。

ただし、勉強意欲はあり、発言等も多いので上手くそこを使えたらと考えています。
> すぎなみ@漆黒の神さん

文字を使うことの目標であれば何か物を使うことに何のメリットも感じません。
この分野は方程式に繋げるのが目標になると思いますから、だとすれば具体的な整数値を用いてそこから一般的にはどういう式になるかを予測させるのに時間をかけるべきかと。
数式、グラフ等の記述に向いているソフトを探しています。

ワードだと入力が煩雑なので、これがお勧めというものがありましたら教えてください。化学式、構造式まで書ければよりうれしいですが、数学対応だけでもかまいません。

よろしくお願いします。

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