私の勉強部屋コミュの読書】物理のための数学ー岩波入門コース（メモ）

そこで、2つの複素数a+bi,c+diをそれぞれr1(cosθ1+isinθ1),r2(cosθ2+isinθ2)とみなすと、
複素数の積(a+bi)(c+di)は

r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2)
と見ることができます。ここでも四則法則をあてはめて、

i×i=−1　に注意しながら整理すると

r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2｛(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2) +i(cosθ1sinθ2+ cos
θ2sinθ1)｝
になります。

ここでcosθ1cosθ2−sinθ1sinθ


は三角関数の加法定理よりcos(θ1+θ2)に、cosθ1sinθ2+ cosθ2sinθ1も同様にsin(θ1+θ2)になります*2。（*2三角関数の加法定理：cosαcosβ∓sinαsinβ= cos(α±β), sinαcosβ±cosαsinβ= sin(α±β)）


このことから　r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2) =r1r2｛cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)｝
であると言えます。

この式の左辺は複素数の積ですが、右辺はただひとつの複素数を表わしています。さらに右辺を注意深く見れば、原点からの距離r1,r2が掛け算されているのに対し、回転角θ1,θ2は足し算されていることがわかります。

これは、複素数の積が（原点からの距離の積と）回転角の和に等しいことを意味します。このことは私たちが数を構成するにあたってたいへん重要な意味をもっているのです。

上の続きはこちら→http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/numtruth.pdf
ですが、ちょっとこの辺にして。
このシリーズ全体の目次はこれらしい。→http://www4.airnet.ne.jp/tmt/menus/mathfaq.html
面白そうなので、又読むから資料倉庫に置いときます。

P10 複素数・・（上にも複素数の話含まれてますけども）

を、見る前にちょっとメモ。

複素数について書き写しただけで、全然まだ理解してないんですが今の時点、なんとなく、これなら行列で表現できんじゃないだろうか。って気がしたら、そのような記事があったが、本当かな。

物理の計算に複素数がでてくるのはどういうことか？
http://ryoshi.sakura.ne.jp/blog/2008/02/post.html

まとめ●

複素数を行列で表すことで，計算からできるだけ"不可思議さ"を取り除くこと．
その上で運動方程式を複素数を使って書き直す過程を具体的に示し，虚数がいったいどこからでてくるのかを明確にすること．

その結果，

物理量自体が虚数になるわけではなく，虚数は2つの物理量と時間微分の関係性を簡略に表すために使用されている．

オイラーの公式について。

上にもリンク出してたけど、オイラーの公式。

オイラーの公式は、複素平面に於ける半径１の円（単位円）の方程式が、なんと、「自然対数の底ｅ」と角度を虚数の指数とした式で表せるというシンプルなものです。

この式は、指数を複素数に拡張したもので、指数演算で複素記号を正負符号と同様に扱い、微分・積分の公式に適用できることが証明されています。

複素数、自然対数の底、複素指数関数、複素空間の円の方程式、三角関数、これらが一つに融合されたこの公式で、三角関数の加法定理、振動、波動、微分が、如何に単純になり、理解が容易になることでしょう。

単振動、正弦波の本質、波とは何なのか？

ということの理解を助けてくれるのです。

この式の美しさは、哲学的な美しさ、数学そのものの美しさです。


http://www.synchronature.com/Science/Euler.html


工学だと、コンデンサの話で使うと便利らしい。へー。


数学の至宝 分かりやすいオイラーの公式 - NAVER まとめ http://matome.naver.jp/odai/2135523260055855501

オイラーの公式がわかる (ブルーバックス) 新書 – 2013/6/21
原岡 喜重 (著)

って本さえ出てるんだ！これ読んでみたいなあ。

オイラーの人となりはわからんらしいけど。

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ 単行本 – 2010/1
吉田 武 (著)

も、誉められていた。こっちは文庫もあるね。

まぁ、気が向いたら。

θ＝ωｔ　なので。と言う記述がネットにあったので検索してみました。

t秒でθ=ωtラジアン

交流の基本
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/alternate1.htm


なんとなくわかるようなわからんような。


図はラジアン。　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3

ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり。ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）とも）とは、複素数（特に実数） θ および整数 n に対して

(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta

が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない[1]。帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。

実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

手で書かないと何のことやらわからん気もするんですけど、後日もう一回書いてみよう。

やりのこしたまま
Ｐ１３　編微分

wiki 偏微分（へんびぶん、Partial differentiation）とは、多変数の関数に対して、その変数を一旦固定して定数と見なし、一つの成分のみを変数として動かして、その成分方向への瞬間の増分を与える微分法である。偏微分法。偏微分によって得られた微分係数や導関数のことを、偏微分係数、偏導関数あるいは単に偏微分 (Partial derivative) という。

物理学においては、例えば位置と時間を変数として波の形状をある瞬間に観察するときは、時間をある瞬間に固定して考えることにより位置に対する波の波高値を観察するというような形で偏微分が用いられる。

偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

∂（数学って入力すると出る）

ギリシャ文字のデルタらしい。


http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1250102582
ギリシャ文字の「デルタ」(小文字)ですね。
名称としては、disaronno_amaletさん のいうように JIS X 0208では、
デル、ラウンドディー
となってますが、TeXでは、\pertialで表示できるので、パーシャルと呼ぶこともあります。

2変数関数
２つの変数x.yに対してｚを対応させる規則が定められているとき、変数ｚを２変数x、ｙの関数と言う。

（x、y）に対する関数の値を　ｆ　（x,y）で表わし、ｚ＝f（x、y）と言う書き方もする。
この場合、zは関数としての意味と変数としての意味の両方を兼ねている。

物理例　等方的物質の状態は、圧力P物質T,体積Vのうちのどれか２つを与えれば決まってしまうことが、経験的に知られている。

すなわち、３つの量の間にはｆ（ｐ、V)＝Tのような
１つの関数関係がある。

これをその物質の　状　態　方　程　式　と呼ぶ。

最も良く知られているのは、理想気体（ｎ　モル）の状態方程式
ｐV＝ｎRT(R：気体定数）である。


（本から。）

突然ですが
∈　←が、わかんなかったので

集合の記号らしい。「Ａ∈Ｂ」は「ＡはＢの部分集合」もしくは「ＡはＢに属する」と読みます

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1151319991

「偏微分」の意味や使い方の説明をお願いします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1125129201

偏微分は，文字通り【偏った】微分です．
では，いったい何に偏っているかということですが・・・

例えば
2つの変数x,yで表された関数
f(x,y) ←2変数関数といい，このように表記します
=x²+y²-xy
という関数があったとします．

本来，この関数はx,yが同時に動くわけですが，
●どちらか一方の変化「だけ」に【偏って】見るとどうなるか?
というのを考えるのが偏微分の考え方です．

例えば，xの変化「だけ」に【偏って】見ると，yは動かないわけですから，
■yは定数同然の扱いになりますね．

すると，
f(x,y)=x²+y²-xyを【xで偏微分】すると，yは定数のように扱って
2x+0-y=2x-y
が【xで偏微分する】ということになり，
∂f(x,y)/∂x
のように表します．

同様に，f(x,y)=x²+y²-xyを【yで偏微分】すると，xは定数のように扱って
∂f(x,y)/∂y
=0+2y-x=2y-x
が【yで偏微分する】ということになります．

如何でしょうか?少しは解っていただけましたか?
意味を正しくつかまないと，この先大変ですから，しっかり理解して下さい．
・・・・・・・・
うーん。理解できん。

これ、本にもあったので、一応メモ。明日読んでみます。

状態方程式の微分形
最小限必要な偏微分の知識。
http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html

えっと、上のリンクに行く前に、こっちから状態方程式からやったほうがいいのかな。

ボイル・シャルルの法則

状態方程式

pV=nRT


ｎはモル数
Rは気体定数 = 8.314 4621(75) J K-1 mol-1
温度Tは絶対温度を使う・・・だいたい -273 ℃ 付近だ。 　1787 年のことなのでまだそんな低い温度を作り出す技術はないが、 その温度を基準にした温度を使えば、 体積と温度が比例するという法則が出来上がるだろう。 　それが「絶対温度」であり単位は K（ケルビン）を使う。 　つまり、0 ℃ が約 273 K、100 ℃ が約 373 K だ。


文章全体はこちら。上のリンクの前々ページ。http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/boyle_charles.html

で、こっち。http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html

状態方程式の微分形　最小限必要な偏微分の知識。

全微分形式
　理想気体の圧力、体積、温度を結びつける式については前に

pV=nRT

で、あるとした。

つまりP 、V 、T の内の 2 つの量が決まれば、 残りの 1 つは自動的に決まってしまうということだ。 　そこで、体積V は温度 Tと圧力ｐ の関数 であると考えて、 次のような式を作ることが出来る。

なぜこのような表現が出来るかについてきちんと説明しておこう。 　軽々しく納得していいところではない。

　温度と圧力がわずかに変化することで、体積がわずかに変化したとする。 　その変化は次のように書ける。



※Δは「差」＝differenceの頭文字dをギリシャ文字のΔ（デルタ）として記号化したものです。
変化前と変化後の差、つまり変化量を表すときに使います。

これを変形してやれば、

と書けるが、Δｐ とΔT について無限小の極限を考えれば、 分数で表した部分は微分の定義式そのものである。 　ただし高校で習う 1 変数のみの微分とは少しだけ違っていて、 初めの項の中の分数の部分は ｐの値を固定したままでの Tによる微分を表しており、2 項目の分数の部分はT の値を固定したままでのｐ による微分になっている。

　このように他の変数を固定して行う微分を、 通常の微分と区別して「偏微分」と呼び、 記号も ｄの代わりに∂ を使って区別する。 　計算自体は全く難しくない。 　考えている以外の変数を定数と見なして普通に微分すればいいだけのことだ。

　偏微分を書き表すのに、例えば、

と書いた場合、これは変数 、 X、ｙを固定して zで微分することを 意味するのだが、もっと簡略化して、

のように表すことがある。 　固定した変数を右下に書いておくわけだ。 　変数が何であるかが分かっている場合には、 右下に変数名を書くのを省略するし、そうする方が普通なのだが、 熱力学ではどの変数を一定に保ったまま状態を変化させるかという ところが重要なので、 忘れないようにメモ代わりに書いておく習慣になっている。

それで初めに書いたような表現が出来ることになるわけだ。 　もう一度書いておこう。

このような表現を「完全微分」あるいは「全微分」と呼ぶ。 　もちろん圧力ｐ や温度T についてもそれぞれ ｐ（V,T）やT(V,p) という関数であると考えることが出来て、 全く同じ操作を経て次のような全微分形式で書くことが出来る。

こうして 3 通りの表現が出てきたが、どれを使っても本質的には同じ式である。 　その時々に応じて一番便利だと思うものを使うことになる。

・・・と、ここまでリンク先を見てきたわけですが、本では違う式使ってるな。

と思ったら、こっちは全微分から始まってるからだった。本は偏微分から始まってるみたいで、同じことが書いてあるようなので、更に上のリンクで読んでみる。

相関係数
　色々な気体の性質の違いを比較するために、実験で P、V 、T の間の関係を調べ、 幾つかの相関係数として表すことが行われる。 　(1) 式が (2)、(3) 式に比べて便利な点は、式の中で使われている偏微分係数が、 よく使われる相関係数の定義に近い形になっていることである。

　例えば (1) 式の第 1 項の偏微分は、 圧力を一定に保ったまま温度を変化させた時の体積変化を表しているが、 これを体積で割ったものは 「定圧膨張率」あるいは「熱膨張率」として良く使われる量である。

また第 2 項の偏微分を体積で割ったものにマイナスをつけたものは 「等温圧縮率」として良く使われる量である。

マイナスが付くだけで難しく見えてしまうが、このマイナスは大した理由ではない。 　圧力が増せば体積は減るのでこの偏微分の値は常にマイナスになってしまう。 　係数の値が常にマイナスになるのはかっこ悪いのでそれを防ぐために付けてあるだけだ。

　これらの係数を使って (1) 式を次のように表現し直しても良い。

もちろん (2)、(3) 式も全く同等な式なので うまく変形すればこれと全く同じ式に行き着くこともできるわけだが、 そのためにはそれぞれの偏微分係数の間にある関係を知らなくてはならない。 　それは少し後で説明しよう。

　相関係数は他にもあるが、直接的には意味をつかみにくいかも知れない。 　例えば先ほど出てきたｋ の逆数である 「体積弾性率」と呼ばれる量がある。

この定義をいきなり見せられても意味がつかみにくいだろう。 　これは結局は圧縮率の逆数に過ぎなくて 圧力変化と体積変化の比であるので、同じ事ではあるが

と理解した方が分かりやすい。 （後ちょっと略しました）

では理想気体のみを表す微分形の状態方程式というのは どんな形をしているのだろう。 　確かめておこう。

となる。

これらを (1) 式に代入して形を整えてやれば、 理想気体の状態方程式を微分形で表したものが出来上がる。

久しぶりに又読み返してて、全く忘れていました。。。とほほ。

冪乗則（べきじょうそく、power law）は、統計モデルの一つ。最も一般的な冪乗則の冪関数(べきかんすう)は、

f ( x ) = a x k + o ( x k ) {\displaystyle f(x)=ax^{k}+o(x^{k})\,} f(x)=ax^{k}+o(x^{k})\,

で表され、定数 c に対して f ( c x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)\propto f(x)} f(cx)\propto f(x) を満たすものである。ここに、a と k は定数、o はランダウの記号である。k はスケーリング指数 (scaling exponent) と呼ばれる。

この関係は、スケール関数の変化に伴い関数の独立変数のスケールが変わると、比例定数は変わるが、関数それ自体の形式は保存されることを意味する。この関係は、両方の変数の対数をとるとより明らかになる。グラフに描けば、両対数グラフにおいて、線型になる。片対数グラフで線型になるのは指数関数。

log ⁡ ( f ( x ) ) = k log ⁡ x + log ⁡ a {\displaystyle \log \left(f(x)\right)=k\log x+\log a} \log \left(f(x)\right)=k\log x+\log a .

この式は、この傾きk の線型関係の形をとり、独立変数のスケーリングは、関数の上か下かの移動を誘導し、関数の形と傾きk の両方が変化しない。

確率分布としては、パレート分布やゼータ分布(Zeta distribution)やジップ分布を参照。

目次

1 自然現象・社会現象
2 冪乗則の性質
2.1 スケール不変性
3 関連項目
4 外部リンク

自然現象・社会現象

冪乗則関係は、驚くほど多くの自然現象の形態（関係）を記述する。たとえば、重力やクーロン力のような逆二乗の法則は冪乗則である。また、円の面積における自乗比例の法則など多くの数学的な公式も冪乗則である。同様に、多くの確率分布は、漸近的に冪乗則関係に近づくテールを持つ。こうした冪乗則は、株式市場の崩壊や大規模な自然災害のような極端にまれな頻度だと考えられる、極値理論と強いつながりがある。

冪乗則関係の科学的な関心は、関数や分布が、ある一般的なクラスの仕組みからたやすく生成されるかどうかにある。それは、データの冪乗則関係を観察することは、しばしば問うている自然現象に潜んだ特定の種類の仕組みを指し示すことになる。そして、関係ないと考えられたほかの現象との深いつながりを示すことがしばしばできる。（たとえば、シモン（参考文献）や、普遍性を見よ。）

物理学において冪乗則があちこちで観測されるのは、部分的には次元解析のためである。一方、複雑システムにおいて、冪乗則は、しばしば階層性と構造安定性のしるしであると考えられる。冪乗則の数少ない有名な例は、地震の大きさに関するグーテンベルク・リヒター則や、収入の分布についてのパレートの法則や、構造的自己相似性のフラクタル、そして、生物学的体系におけるスケーリング法則（アロメトリー）がある。冪乗則の関係の起源についての研究と、現実の世界で冪乗則関係を観察し、正当性を証明しようとする努力は、現代科学の諸分野において極端に活発である。活発な分野には、物理学、計算機科学、言語学、地球物理学、社会学、経済学、経済物理学などもろもろ存在する。
冪乗則の性質
スケール不変性

冪乗則を非常に興味深いものとする主な性質は、スケール不変性にある。 f ( x ) = a x k {\displaystyle f(x)=ax^{k}} f(x)=ax^{k} という関係、あるいはいかなる同次多項式であっても、定数因子によって独立変数 x {\displaystyle x} x のスケールを変化させることは、関数それ自体のスケーリングの比例に帰結するだけだ。

f ( c x ) = a ( c x ) k = c k f ( x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x)} f(cx)=a(cx)^{k}=c^{{k}}f(x)\propto f(x)

この式は、定数によるスケーリングとは、単に元の冪乗則関係に定数、 c k {\displaystyle c^{k}} c^{k} を乗じることであることを示す。このように、特定のスケーリング指数を持つすべての冪乗則は、定数倍と同等となる。なぜならば、ひとつひとつが他の要因のスケールされた版であるからだ。このふるまいは、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) と x {\displaystyle x} x の両対数をとったときに、線型関係を産むことになる。こうした対数-対数プロットにおける直線関係は、よく冪乗則のsignatureと呼ばれる。しかし、実際のデータにおいて、こうした直線関係は必要条件であっても、冪乗則関係にデータが従っているとする十分条件ではないことに注意すべきだ。事実、こうしたsignatureを示すふるまいを模倣するデータの有限な量を生成する方法は数多く存在する。本当の冪乗則ではない、単なる模倣のデータでは漸近的な限界がある。こうして、冪乗則モデルを正確にフィッテイングし、正当性を立証することは、統計学的な研究の活発な領域となる。
関連項目

パレート分布、安定分布
裾の重い分布、ファットテール、ロングテール
複雑ネットワーク、スケールフリーネットワーク
1/fゆらぎ、ピンクノイズ
自己組織化臨界
相転移、臨界指数、普遍性 (物理学)、繰り込み群
スティーヴンスの冪法則