高校数学レベルの問題を解こう!!コミュの体積

空間に２点Ａ・Ｂがあり、ＡＢ＝２である。今、点Ｐを、∠ＡＰＢが６０°以上、９０°以下になるようにとる。Ｐのとりうる領域の体積を求めよ。

はじめまして。べびーかー＠のっちです。私はこういう問題をつくるのが好きで自作問題を載せたページまで作ってしまいました。興味のある人は是非やってみてください。
http://island.geocities.jp/bwfhr663/para/63-2.html

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 03月28日 19:27

東大京大が好きそうな問題ですね。

説明が難しいですが、平面に帰着させて一応解きました。

Ａ、Ｂを含むｘｙ平面上で考える。
Ａ（－１，０）、Ｂ（１，０）
とする。
対称性より、ｙ＞０の範囲で
６０°≦∠ＡＰＢ≦９０°
を満たすＰの存在範囲となる領域Ｄを求め、
直線ＡＢ（＝ｘ軸）を軸とするＤの回転体の体積を求めればよい。

ｙ＞０において

?∠ＡＰＢ≦９０°を満たすＰの範囲は、
円 x^2+y^2=1 の周上及び外部である。

?∠ＡＰＢ≧６０°を満たすＰの範囲は、
円 x^2+(y-(1/√3))^2=4/3 の周上及び内部である。

?かつ?を満たす領域がＤである。（三日月形になりました）

これをｘ軸を軸に回転させて、求める体積は

（16√3/27）π^2+（2/3）π

なんだか煩雑な積分計算で、面積に帰着させるなど工夫もしましたがミスが怖いです。
Ｄの求め方が雑ですが、恥ずかしながら上手く説明できません。
積分計算の式は複雑すぎて面倒なので載せませんでした。
あってるでしょうか？

[2] mixiユーザー 03月28日 21:10

はい！合ってます。一緒の答えになりました。

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