高校数学レベルの問題を解こう!!コミュのファレー訂正版

問題に不備があったのでここに訂正しました。また、検討したところ、SHIGEさんのおっしゃられる通り、問題1に行列を部分的に使用した解法もありました。
混乱させてしまいすいませんm(_ _)m

自然数a,b,c,dが以下の条件(1)～(3)を満たしている。
(1)aとbは互いに素
(2)cとdは互いに素
(3)ad-bc=1

【問題1】
m,nは正の整数とする。任意のm,nにおいて、mとnの最大公約数はma+ncとmb+ndの最大公約数に等しいことを示せ。

【問題2】
p,qは互いに素な正の整数とする。b/a＜q/p＜d/cを満たす既約分数q/pは、互いに素なm,nを用いて(mb+nd)/(ma+nc)と表すことができることを示せ。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 04月20日 18:42

【問題1】解答
m,nの最大公約数をgとすると、
m=ug, n=vg
と表せる(u,vは互いに素)
すると、
X=ma+nc=g(ua+vc)
Y=mb+nd=g(ub+vd)
ここでX,Yの最大公約数をhとすると、
h≧g…[1]
が成り立つ。
さらに、m,nについて解くと、
m=dX-cY=hx
n=-bX+aY=hy
となり、
g≧h…[2]
である。よって[1][2]よりg=hとなり、題意は示された。

【問題2】解答
　題意を満たすどのような既約分数q/pについても、数直線上において、b/aとd/cの内分点として表され、その内分比は互いに素な自然数r,sによりr：sと表すことができる。
　ここで、m=sc,n=raとおくと
q/p=(s*b/a+r*d/c)/(r+s)
=(sbc+rda)/ac(r+s)
=(mb+nd)/(ma+nc)
となり、題意が示された。

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