自然数a,b,cが、ピタゴラスの定理 a^2 + b^2 = c^2 を満たす時、行列
( -1 -2 2 )
P := ( -2 -1 2 )
( -2 -2 3 )
( -a a -a )
A := ( b -b -b )
( c c c )
として、行列の積 PA を
( x_1 x_2 x_3 )
PA = ( y_1 y_2 y_3 )
( z_1 z_2 z_3 )
とし、以下の問に答えて下さい。
問1)
x_1^2 + y_1^2 = z_1^2
x_2^2 + y_2^2 = z_2^2
x_3^2 + y_3^2 = z_3^2
が成り立つ事を証明せよ。
問2)
(a,b,c)を親ピタゴラス数
(x_1,y_1,z_1)、(x_2,y_2,z_2)、(x_3,y_3,z_3)を子ピタゴラス数
と呼ぶとすると、
ある子ピタゴラス数(x,y,z)から親ピタゴラス数(a,b,c)を求める方法を示せ。
問3)
この方法で全ての既約ピタゴラス数を網羅出来る事を証明せよ。
問4)
・m,nは自然数
・m>n
・m,nは互いに素
・m,nはどちらか一方が偶数でもう一方は奇数
の全てを満たす時、
a = m^2 - n^2
b = 2mn
c = m^2 + n^2
において全ての既約ピタゴラス数を網羅できる。
では、m,nを使って先の行列式PAと全単射になる行列式を示せ。
( -1 -2 2 )
P := ( -2 -1 2 )
( -2 -2 3 )
( -a a -a )
A := ( b -b -b )
( c c c )
として、行列の積 PA を
( x_1 x_2 x_3 )
PA = ( y_1 y_2 y_3 )
( z_1 z_2 z_3 )
とし、以下の問に答えて下さい。
問1)
x_1^2 + y_1^2 = z_1^2
x_2^2 + y_2^2 = z_2^2
x_3^2 + y_3^2 = z_3^2
が成り立つ事を証明せよ。
問2)
(a,b,c)を親ピタゴラス数
(x_1,y_1,z_1)、(x_2,y_2,z_2)、(x_3,y_3,z_3)を子ピタゴラス数
と呼ぶとすると、
ある子ピタゴラス数(x,y,z)から親ピタゴラス数(a,b,c)を求める方法を示せ。
問3)
この方法で全ての既約ピタゴラス数を網羅出来る事を証明せよ。
問4)
・m,nは自然数
・m>n
・m,nは互いに素
・m,nはどちらか一方が偶数でもう一方は奇数
の全てを満たす時、
a = m^2 - n^2
b = 2mn
c = m^2 + n^2
において全ての既約ピタゴラス数を網羅できる。
では、m,nを使って先の行列式PAと全単射になる行列式を示せ。
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コメント(7)
１）
ＰＡ＝（ａ−２ｂ＋ｃ −ａ＋２ｂ＋２ｃ ａ＋２ｂ＋２ｃ
（２ａ−ｂ＋ｃ −２ａ＋ｂ＋２ｃ ２ａ＋ｂ＋２ｃ
（2ａ−2ｂ＋3ｃ −2ａ＋2ｂ＋3ｃ 2ａ＋2ｂ＋3ｃ
になりました（久々に行列の積を計算しました（笑。
−のつく部分は嫌ということで、
ｘ_3＝ａ＋２ｂ＋２ｃ
ｙ_3＝２ａ＋ｂ＋２ｃ
ｚ_3＝2ａ＋2ｂ＋3ｃ
の計算をしてみました。平方の部分だけ、ａ，ｂ，ｃがピタゴラス数であることを使うんですね！他も同様です。
２）
（１）で求めた
ｘ_3＝ａ＋２ｂ＋２ｃ
ｙ_3＝２ａ＋ｂ＋２ｃ
ｚ_3＝2ａ＋2ｂ＋3ｃ
を、ａ，ｂ，ｃについて逆に解いてみると
（ａ） （ｘ_3）
（ｂ）＝Ｂ（ｙ_3） （１ ２ −２）
（ｃ） （ｚ_3）、Ｂ＝（２ −１ −２）
（−２ −２ ３）
となり、このとき、ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3を任意のピタゴラス数とすると、ａ，ｂ，ｃがその親ピタゴラス数になっているのがわかります（確かめる計算は（１）同様です）。
３）
２）から、親が既約であることと、子が既約であることが、同値であることを示せばいいです。問題文で与えられる親ａ，ｂ，ｃ，子ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3についてそれを示します（他の子に対しても同様）。
ａ，ｂ，ｃの最大公約数をｄとします。２）のはじめに書いた関係式から、ｄはｘ_3，ｙ_3，ｚ_3のそれぞれを割っていることが分かります。また、ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3の最大公約数が、ａ，ｂ，ｃのそれぞれを割っていることが分かります。
従って、親ａ，ｂ，ｃと子ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3のそれぞれの最大公約数は一致します。特に、同時に既約となります。
４）
問題文の意味がなんとなく分かるんですが、なにを示せばいいか、ちょっとわかりません。
ｄｅｔ（ＰＡ）＝detＰ・detＡ＝−４ａｂｃ・（−１）
＝４ａｂｃ。
ＰＡ＝（ａ−２ｂ＋ｃ −ａ＋２ｂ＋２ｃ ａ＋２ｂ＋２ｃ
（２ａ−ｂ＋ｃ −２ａ＋ｂ＋２ｃ ２ａ＋ｂ＋２ｃ
（2ａ−2ｂ＋3ｃ −2ａ＋2ｂ＋3ｃ 2ａ＋2ｂ＋3ｃ
になりました（久々に行列の積を計算しました（笑。
−のつく部分は嫌ということで、
ｘ_3＝ａ＋２ｂ＋２ｃ
ｙ_3＝２ａ＋ｂ＋２ｃ
ｚ_3＝2ａ＋2ｂ＋3ｃ
の計算をしてみました。平方の部分だけ、ａ，ｂ，ｃがピタゴラス数であることを使うんですね！他も同様です。
２）
（１）で求めた
ｘ_3＝ａ＋２ｂ＋２ｃ
ｙ_3＝２ａ＋ｂ＋２ｃ
ｚ_3＝2ａ＋2ｂ＋3ｃ
を、ａ，ｂ，ｃについて逆に解いてみると
（ａ） （ｘ_3）
（ｂ）＝Ｂ（ｙ_3） （１ ２ −２）
（ｃ） （ｚ_3）、Ｂ＝（２ −１ −２）
（−２ −２ ３）
となり、このとき、ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3を任意のピタゴラス数とすると、ａ，ｂ，ｃがその親ピタゴラス数になっているのがわかります（確かめる計算は（１）同様です）。
３）
２）から、親が既約であることと、子が既約であることが、同値であることを示せばいいです。問題文で与えられる親ａ，ｂ，ｃ，子ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3についてそれを示します（他の子に対しても同様）。
ａ，ｂ，ｃの最大公約数をｄとします。２）のはじめに書いた関係式から、ｄはｘ_3，ｙ_3，ｚ_3のそれぞれを割っていることが分かります。また、ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3の最大公約数が、ａ，ｂ，ｃのそれぞれを割っていることが分かります。
従って、親ａ，ｂ，ｃと子ｘ_3，ｙ_3，ｚ_3のそれぞれの最大公約数は一致します。特に、同時に既約となります。
４）
問題文の意味がなんとなく分かるんですが、なにを示せばいいか、ちょっとわかりません。
ｄｅｔ（ＰＡ）＝detＰ・detＡ＝−４ａｂｃ・（−１）
＝４ａｂｃ。
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