AutoCADコミュの楕円に、方向線上の接線・・・

　前、他のサイトに出た問題になりますが、私なりに、解いた問題になります。
　しかし、思い出して、今やってみても、0 に近い回答はでても、0 がでません、接線の部分の、誤差が、0.02程度出てしまいます。　　実務では、楕円の形状の、建物に、放射線上に、柱を設置し、その、接線を求め、外壁カーテンウォールの、基準を求める、などとの、基準を決めるのに、必要な、問題になります。

　では、問題です、楕円、縦、横、比率が、0.5 のオブシェクトに、中心点から、15度の放射状の、基準を設置この基準と、楕円の接線を求めよです。

　効率のよい、やり方で、接線が　0 に近い、方法を期待しています。
　絵を添付します。

コメント(21)

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[1] mixiユーザー 06月30日 15:53

はじめまして。
楽しそうな問題だったので、チャレンジしてみました。

１．楕円と15度の線分をブロック化（赤の図形）
２．ブロックの縦横比を1：2に変形し、楕円を真円に（緑の図形）
３．上記図形の元15度の線と円の交点に接線を引く（黒の線）
４．緑の図形と黒の接線をブロック化し２：１に変形
５．赤のブロック図形を楕円と線分でトレース
という手順で描いてみました。
１５度の線（赤）と接線を楕円でトリムして、ポリライン結合したらちゃんとくっついたので、誤差はほぼ０だと思います。

楕円の接線というのをイマイチ数学的に理解してないんですがこれでいいのでしょうか？
２回のブロック化と変形が面倒です。他の方法も知りたいです。

[2] mixiユーザー 06月30日 19:54

　すばらしい、私のやり方よりも、簡単に解いています。使わせていただきます。　誤差は、アップして、作図し直す事で、0 になりました。　私の方法で、今やっているのですが、
0.0131 でてしまいました。作図のやり方に問題があるのかもしれません、　他にも、良い方法があると良いのですが、

[3] mixiユーザー 06月30日 23:08

久々に書き込みます。

楕円は円柱の斜断面なので、3Dから展開して見ました。

円柱の正断面・真円上で接線は簡単に出ますからその線上に面を張って、楕円の斜断面で切った線がそのまま楕円の接線になると思います。
あくまで考察の為の作図です。

[4] mixiユーザー 07月02日 09:10

＞金四郎様
「楕円の接線」の意味がわかりました！ありがとうございました。

[5] mixiユーザー 07月02日 17:23

楕円は正円をX/Yの各方向に定数倍拡大したものと捉えることができますが、
確か各点における接線も同じようにXY方向に定数倍すれば出たような気がしたので、
それを利用して作図し、確認してみました。

便宜上もとのオブジェクトを「楕円」「15°線」、
15°の基準に使った線を「0°線」と呼ぶ事にします。

１．　楕円の長軸を直径とする正円を作図する。
２．　楕円と15°線の交点AからY軸の正方向に線分を作図し、正円の交点をBとする。
３．　中心からBへの線分を作図し、Bを中心に90°回転するとBにおける正円の接線になる。
４．　正円の接線と0°線との交点をCとし、CからAへの線分を作図する。

図中の赤い線分CAが点Aにおける楕円の接線となります。
延長してから楕円を境界としてトリムしたところいずれか片側しか除去できなかったので、
交点が１点しかない＝接点、ということで大丈夫かなと…

細かい検証はしていないのですが、これでいかがでしょうか。

[6] mixiユーザー 07月02日 17:26

私はもうすこし、理解するのに、時間が必要なようです。　困ったものです。

[7] mixiユーザー 07月02日 18:56

金四郎さんの、やり方は、私なりの、理解の仕方で、やると、上手くいきません、何か勘違いがあるのかもしれませんので、指摘してください、

　1 円を描いて、押し出します。
　2 円の、底辺中心から、15度方向へ、線分をひきます。
　3 ucsを線分に合わせ、ダミー□を作り、al で、線分と円の交点に、位置合わせします。
　4 □を、押し出します。
　5 断面を作るため、サーフェスを60度でおしだします。
　6 円柱と、□を、サーフェスで切断します。
　7 □の接線エッジと、楕円エッジを取り出し、平面にします。

　絵を添付します。　　ダミー□と、円柱を、サーフェスで、60度切断したところ、手前、エッジを取り出し、平面にしたところです。

[8] mixiユーザー 07月02日 19:17

5 ASTEKA さん、ざっとやってみたのですが、合っていると私はかんがえます、私は、金四郎さんと、同じような、考えで、円を、傾け、頭上から見たのが、楕円と、考え、3Dを駆使して、接線も、Z座標を無視した、直線を引いた線になっています。平面だけで、解決できるとは、考えていませんでした。　図を描いて求めるとなると、他に方法がでないようなきがしますが、まだ、まだ、と考えているかた、こうなったら、クイック計算機の、機能をつかうと、もっとなんていうのも、ありかな～～～なんて、そこまでいくと、私には、理解できない世界になってしまいますが・・・・・・・

[10] mixiユーザー 07月02日 20:22

zeppekiさん：

平面だけで考える場合はもっと大雑把にとらえてOKだと思います。
左側の図（先に挙げたのと同一です）を一緒に見ながら読んでみて下さい。

まず15°の話は後回しにして、先に正円と接線BCを描きます。
これを0°線を中心に据えたまま、上下から接線ごと縦方向に押しつぶして半分にします。

すると接点Bは高さが半分になってAの位置に移動しますが、
Cはもともと0°線上にあるのでそのままの位置で動きません。

そこで作図においてはCを固定して移動後のAの位置だけを調べ、
それらをつなぐ事でつぶした状態での接線を作図します。

この解答では与えられた楕円からつぶされる前の正円を想定して、
もとの接線はこうだからつぶした結果はこんなだろう、
という具合に考えているわけです。

金四郎さんの方法では円柱を斜めにカットした断面の楕円を利用していますが、
この場合は楕円の短軸を直径とする正円を使って考える事になります。

自分の方法は逆で楕円の長軸を直径とする正円です。
同じように3Dで考えるなら逆に底面が楕円の「楕円柱」を想定し、
断面が正円になるようにうまく斜めにカットすれば、
順番が反対になりますが同じようなイメージができそうですね。

なお平面で解決する場合でも、同じように短軸側の正円を使って作図できます。
その場合の完成図を添付しますので御参考になさって下さい。
文章は省略しますが、A→B→Cの作図順序はまったく同じです。

[11] mixiユーザー 07月02日 20:46

> ASTEKAさん
その方法は板金展開技法のアレンジの1つですね。

> zeppekiさん
15°線が真円の中に引かれています。
楕円中で15°なら真円中では違う角度になるはずでず。

板金展開では短中心線で真円を書き、その短中心線上から変数倍するんですね。
相似形の倍数ですから、それぞれの2倍・・・真円の接線交点は全て中点になります。

判り易い現象で言い換えれば・・・太陽と影・・・楕円は影に相当しますね。

作図はこの方法が一番早いと思います。^^

[12] mixiユーザー 07月03日 18:50

金四郎さん：

板金展開は経験が無いのですが、こういう方法も応用できるのですね。
本業は配管関係なのですが、以前に

「太い塩ビ管の横っ腹に、細い塩ビ管を斜めに差し込む」

ときに空けるべき穴の形を作図したことがありました。
太い方の側面に型紙を貼ってカットできればと思ったのですが、
穴自体が平面ではなく曲面上に存在するので、
印刷のために平面に展開するとまたちょっと違う形になるのでした。

会社にあったのがLTで基本的に2Dでしか作業をしなかったもので、
三角関数を駆使して手作業で計算して、
まるで入試問題のように型紙の図形を求めました…w

[14] mixiユーザー 07月07日 21:44

今更といわれそうですが、私の考え方、
　前にも、書き入れましたが、楕円を、円を傾けた、形状として、かんがえ、問いでは、比率が、0.5 なので、円を60度傾け、top　ビューからみれば、楕円に、接線となります。　　それを、レイアウトで、切り取り、トレースして、トレースしたものを、モデル空間に、貼り付け、立体オブジェクトを、消すでした。
　これを、考えた時点？で、CAD試験のテストならば、昔の、建築士試験と同じように、ひっかけ問題かな？なんて、考えてしまいました。　やすぼさんの、書き込みを読んだとき、私の知識のなさ、を、かんじました。
　ブロックの、縦横の、比率を変えられる、なんて、正直知りませんでした、困ったものです。　　そういえば、建築図では、少ない使い方かもしれません。

　将来、材料仕様が、激変し、カーボンなどが、標準で、使用される時期がきたら、構造も変化し、趣旨にかいた、放射状の辺が、ハニカム構造で、平面壁式構造なんて、建物も、可能になったとき、自然に、一番近い形状、（円を傾けただけ）楕円平面が、当たり前のように、建つ時代がくるかもしれません、放射状の構造を持つことで、風などが、抜ける構造も、可能になります。
　又妄想が始まってしまいました。　　ここらへんで、やめましょう、

元へ戻って、　私のやり方を、添付します。　平面方向が理解できるように、長方形を、ダミー平面として、描いてあります。　　15度の、辺に、60度傾けた、円から、仮想交点をつかい、半径を、（斜辺を）作り、その、斜辺と、円を、平面状に回転させ、接線を引き、又60度戻し、top　ビューで、切り抜くでした。

[15] mixiユーザー 07月08日 22:40

円を傾けて(半径を縮小)作図するのが好みの方が多いみたいですね。

1) 素直に楕円・15°線分を作図
2) 楕円と15°線分の交点から「@0.0.z」で垂線を作図
3) UCSを60°傾けて円を作図
4) 円の中心から円・垂線の交点に線分を作図
5) 円と垂線の交点に接線を作図
6) UCSを「ワールド」に戻す
7) 5)で作図した接線をオブジェクトプロパティで「始点Z・終点Z」を「0」にする

と・・・楕円の接線の出来上がりですね。

仮想交点は・・・この場合は使わないですね。任意の透過点での作図になってしまいますから。
きちんと交点を掴めるはずですし、トリムもフィレットも出来ますよ。^^

[16] mixiユーザー 07月09日 00:54

金四郎さん、その方法がありましたね、CADの良いところになりますね、それと、恥ついでに、線分の、Z値を、0 にする、なんてこと、知りませんでした。
　本当に、困ったものです。ありがとうございます。
　今考えているのは、CADでは、図面を、描くのに、不可能？になるところを、考えています。　　　つまり、楕円の、頂点近くの、接線が、水平に近くなるところです。つまり、問題で、15度としたところ、を、89度59分59秒（ラジアンでは、表現できないので、・・・これも、困ったものですが）を考えた場合、
逆に、楕円の、中心を通る線との、交点を描くのが、大変かな、と、頭の中で、考えています。　　　ASTEKAさんの、図を、元に、計算と、パラメトリックを、使えば、簡単に答えがでるのかな？と、考えているところです。
　でも、楕円の、15度にたいする、底辺が、計算できません、これも困ったものです、未知数が、２つ以上？になってしまいます。　　現場での、計算は、底辺を（例えば、半径30ｍ　の場合中心から、5m~3m ダミー線を、仮想します）、基準にして、円の、角度をcosマイナス1(計算機に書いてあるのを表現したつもり）で、正円からの、角度を計算し、正円半径の、sin の　値に、cos60゜で、楕円の高さ方向が、計算できるので、それを、基準として、意匠を合わせていきますこの考え方が、円を傾けた方法となり、私には、染み着いて？いる、計算方法だったので、図面も、同じように、考えてしまいました。でも、趣旨とした、放線？相手だと、なんとも、・・・・・

[17] mixiユーザー 07月21日 21:48

　焦点を使う、・・
　と書いても、ネットで、学習しました。
http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase/math_app/circle/daen/daen-tan.html

をCAD操作で、（　（２）の角度が同じ事を利用しました）
　焦点（F` F点）は、正円の半径の２乗、から、傾けた円の、半径（もっとも短いところ）の２乗の差をもとめ、平方根で、計算した値を、中心からオフセットした点になります。　クイック計算機を上手く使います。後は絵をみてください。　　考えが正しいかどうか、傾けた円半径を、200とした、図でも、検討してみました。