水道方式では、「一般から特殊へ」という指導順序に従います。その一方、遠山啓は「易から難へ」といいう指導順序も提唱しています。
しかし、私はこの２つの共存は難しいと考えています。特殊なものが難しいと考えることもできますが、特殊なものの方が簡単なものもあります(たとえば、一次・二次関数)。
「一般から特殊へ」という指導順序の意義は、指導の効率化にあると思います。例として、一般的な展開の指導順序(一般から特殊へ)と特殊から一般への指導順序を示します。
一般から特殊へ(東京書籍新しい数学３年より)
?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
↓
?(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
↓
?(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2
↓
?(x+a)(x-a)=x^2-a^2
特殊から一般へ
?'(x+a)(x-a)=x^2-a^2,(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2-2ax+a^2
↓
?'(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
↓
?'(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
?,?は、?からできるので、並列の関係にあります。
「一般から特殊へ」では、前の公式を用いて次の公式を導くので、指導の効率化を図ることができます。それに対し、「特殊から一般へ」では１つ１つの公式を、ただ覚えさせる必要があります。これより、展開の指導においては、一般から特殊へという指導順序が合理的であると考えられます。
次に因数分解の指導順序について考えてみたいと思います。
因数分解では、一般的に「一般から特殊へ」という指導順序で指導します。
東京書籍新しい数学３年より
?ma+mb=m(a+b)
↓
?x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
↓
?x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
↓
?x^2-a^2=(x+a)(x-a)
?は特殊な型なように見えますが、特殊な型とは言えません。もし、中学校段階でac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)を指導するのであれば、?は特殊な型になります。?と?,?,?は性質が異なるので、一般や特殊という言葉で分けることはできません。
先に因数分解の指導順序は「一般から特殊へ」になっていると書きましたが、その理由は指導の効率化ではなく、展開の指導順序に従うためです。
教科書の指導方法は、展開公式を逆に利用するものです。なので、私は指導順序が?〜?の順序に従う必要を感じません。展開公式を利用して因数分解をするので、展開の指導順序に合わせることは自然だとは思いますが、必ずしも必要だとは感じません。
たとえば、次のような指導順序があっても良いのではないかと考えています。
?'ma+mb=m(a+b)
↓
?'x^2-a^2=(x+a)(x-a)
↓
?'x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
↓
?'x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
この指導順序は、一般・特殊という概念ではなく、「易から難へ」という指導順序に従ったものです(どの問題が簡単でどの問題が難しいかは私の主観です)。
展開から因数分解への移行では、多くの生徒がつまづくと思います。それは、展開は機械的な作業であるのに対し、因数分解ではひらめきが必要であるからだと思います。「展開は簡単だが因数分解は難しい」と考える生徒が多いことを考えると、展開から因数分解への移行をスムーズにすることが大切だと思います。そのことから、因数分解は比較的簡単なものから指導をすることが望ましいと考えました。
もし、教科書の指導順序に従うのであれば、展開公式を用いるのではなく、前の因数分解の公式を利用することが大切だと思います。
例
x^2-a^2=x^2+(a-a)x-a^2=(x+a)(x-a)←公式?を利用し?を導いた
この記述は、私の主観によるものなので、客観的な視点に立った意見をほしいと思い、トピックを立てました。
ご意見お願いしますm(__)m
しかし、私はこの２つの共存は難しいと考えています。特殊なものが難しいと考えることもできますが、特殊なものの方が簡単なものもあります(たとえば、一次・二次関数)。
「一般から特殊へ」という指導順序の意義は、指導の効率化にあると思います。例として、一般的な展開の指導順序(一般から特殊へ)と特殊から一般への指導順序を示します。
一般から特殊へ(東京書籍新しい数学３年より)
?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
↓
?(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
↓
?(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2
↓
?(x+a)(x-a)=x^2-a^2
特殊から一般へ
?'(x+a)(x-a)=x^2-a^2,(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2-2ax+a^2
↓
?'(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
↓
?'(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
?,?は、?からできるので、並列の関係にあります。
「一般から特殊へ」では、前の公式を用いて次の公式を導くので、指導の効率化を図ることができます。それに対し、「特殊から一般へ」では１つ１つの公式を、ただ覚えさせる必要があります。これより、展開の指導においては、一般から特殊へという指導順序が合理的であると考えられます。
次に因数分解の指導順序について考えてみたいと思います。
因数分解では、一般的に「一般から特殊へ」という指導順序で指導します。
東京書籍新しい数学３年より
?ma+mb=m(a+b)
↓
?x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
↓
?x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
↓
?x^2-a^2=(x+a)(x-a)
?は特殊な型なように見えますが、特殊な型とは言えません。もし、中学校段階でac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)を指導するのであれば、?は特殊な型になります。?と?,?,?は性質が異なるので、一般や特殊という言葉で分けることはできません。
先に因数分解の指導順序は「一般から特殊へ」になっていると書きましたが、その理由は指導の効率化ではなく、展開の指導順序に従うためです。
教科書の指導方法は、展開公式を逆に利用するものです。なので、私は指導順序が?〜?の順序に従う必要を感じません。展開公式を利用して因数分解をするので、展開の指導順序に合わせることは自然だとは思いますが、必ずしも必要だとは感じません。
たとえば、次のような指導順序があっても良いのではないかと考えています。
?'ma+mb=m(a+b)
↓
?'x^2-a^2=(x+a)(x-a)
↓
?'x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
↓
?'x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
この指導順序は、一般・特殊という概念ではなく、「易から難へ」という指導順序に従ったものです(どの問題が簡単でどの問題が難しいかは私の主観です)。
展開から因数分解への移行では、多くの生徒がつまづくと思います。それは、展開は機械的な作業であるのに対し、因数分解ではひらめきが必要であるからだと思います。「展開は簡単だが因数分解は難しい」と考える生徒が多いことを考えると、展開から因数分解への移行をスムーズにすることが大切だと思います。そのことから、因数分解は比較的簡単なものから指導をすることが望ましいと考えました。
もし、教科書の指導順序に従うのであれば、展開公式を用いるのではなく、前の因数分解の公式を利用することが大切だと思います。
例
x^2-a^2=x^2+(a-a)x-a^2=(x+a)(x-a)←公式?を利用し?を導いた
この記述は、私の主観によるものなので、客観的な視点に立った意見をほしいと思い、トピックを立てました。
ご意見お願いしますm(__)m
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コメント(63)
＞Yojiさん
実は、私は教育実習の研究授業(本番でなく練習)でまったく同じ方法でやりました
結果は粉砕されたんです(>_<)
私も「因数分解…展開の逆」と考えていたので、できる生徒がいるだろうと考えていたのですが…
７月に冷や汗かいちゃいました
できた生徒は、塾に通っている生徒だけでした
�饉阿鯏験�しなさい２問
�髻岼�数分解は展開の逆」定義を指導
�鷦阿魄�数分解しなさい(�颪療�えを見やすいように並べて書いた)
結局、本番では長方形(教科書に載っているお決まりなヤツ)を使って
面積(展開した式)=(縦)×(横)
話しそらして６の因数って何？ ２と３
なんで？ ６＝２×３だから
掛け算の形にしたときにでてくるものを因数って言うんだよね
右から左って何て言ったっけ？ 展開
左から右は、掛け算の形になってるよね、掛け算の要素を因数って言ったよね、因数に分けてるよね、因数分解って呼ぶことにするよ
って指導しました
教科書では、因数を前単元の平方根で学習しているので、因数は復習扱いです
＞エノキングさん
私が相反する意見を述べているように見えると思います
それは私の考える理想と現実です
私は、どの方法で生徒にどのような力をつけることができるか、しか書くことはできません
どの指導が正しいなんてことは言えません
私は、「定理(因数分解のコツ)」を教えることで生徒は因数分解をする速さが速くなる、「定理(因数分解のコツ)」を教えることで生徒が考える機会を失ってしまう可能性がある
この両方とも主張したいと思います
私は、どちらの(因数分解のコツを教えるか教えないか)どちらの方がいいなんてことは言えませんし、考えも固まっていません
エノキングさんが、確実に生徒に因数分解を習得させたいとおもうのであれば、因数分解のコツを教えると良いと思います、もし考える力を身に付けたいと思うのであれば、生徒にたくさん練習させ生徒自身に見つけさせれば良いと思います
私はメリットだけでなくデメリット(逆の立場の指導)も主張するので、ブレを感じるのだと思います
水道方式の研究前に水道方式に対する批判的な本を読みました
そこには、日本の数学教育界では批判がないと書かれていました
結局、良いところばかりを見て、悪いところを無視することは良くないと、私もそのように思い、メリットを話すときには常にデメリットも話すようにしています
実は、私は教育実習の研究授業(本番でなく練習)でまったく同じ方法でやりました
結果は粉砕されたんです(>_<)
私も「因数分解…展開の逆」と考えていたので、できる生徒がいるだろうと考えていたのですが…
７月に冷や汗かいちゃいました
できた生徒は、塾に通っている生徒だけでした
�饉阿鯏験�しなさい２問
�髻岼�数分解は展開の逆」定義を指導
�鷦阿魄�数分解しなさい(�颪療�えを見やすいように並べて書いた)
結局、本番では長方形(教科書に載っているお決まりなヤツ)を使って
面積(展開した式)=(縦)×(横)
話しそらして６の因数って何？ ２と３
なんで？ ６＝２×３だから
掛け算の形にしたときにでてくるものを因数って言うんだよね
右から左って何て言ったっけ？ 展開
左から右は、掛け算の形になってるよね、掛け算の要素を因数って言ったよね、因数に分けてるよね、因数分解って呼ぶことにするよ
って指導しました
教科書では、因数を前単元の平方根で学習しているので、因数は復習扱いです
＞エノキングさん
私が相反する意見を述べているように見えると思います
それは私の考える理想と現実です
私は、どの方法で生徒にどのような力をつけることができるか、しか書くことはできません
どの指導が正しいなんてことは言えません
私は、「定理(因数分解のコツ)」を教えることで生徒は因数分解をする速さが速くなる、「定理(因数分解のコツ)」を教えることで生徒が考える機会を失ってしまう可能性がある
この両方とも主張したいと思います
私は、どちらの(因数分解のコツを教えるか教えないか)どちらの方がいいなんてことは言えませんし、考えも固まっていません
エノキングさんが、確実に生徒に因数分解を習得させたいとおもうのであれば、因数分解のコツを教えると良いと思います、もし考える力を身に付けたいと思うのであれば、生徒にたくさん練習させ生徒自身に見つけさせれば良いと思います
私はメリットだけでなくデメリット(逆の立場の指導)も主張するので、ブレを感じるのだと思います
水道方式の研究前に水道方式に対する批判的な本を読みました
そこには、日本の数学教育界では批判がないと書かれていました
結局、良いところばかりを見て、悪いところを無視することは良くないと、私もそのように思い、メリットを話すときには常にデメリットも話すようにしています
（#29の脱字を訂正して、削除し再投稿します）
＞かつぢさん
**************************************************
＃６
＞もし、何か良い案があれば教えていただきたいのですが
＃８
＞その発見(2と4の発見)に良い方法はないか考えていますが、
見つかりません(経験に頼ってしまっています)
**************************************************
あなたが上記のように書かかれたから、
私は【案】＝アイデアを書き込んでいます。
私の投稿動機はただそれだけです。
「あなたのヒントになれば」というただそれだけです。
Yojiさんの別トピ立ての提案に、
かつぢさん自身も同意されたようですから、
ここでは、かつぢさん自身が言われる
「その発見(2と4の発見)に良い方法」
を中心に語り合いましょう。
＞かつぢさん
**************************************************
＃６
＞もし、何か良い案があれば教えていただきたいのですが
＃８
＞その発見(2と4の発見)に良い方法はないか考えていますが、
見つかりません(経験に頼ってしまっています)
**************************************************
あなたが上記のように書かかれたから、
私は【案】＝アイデアを書き込んでいます。
私の投稿動機はただそれだけです。
「あなたのヒントになれば」というただそれだけです。
Yojiさんの別トピ立ての提案に、
かつぢさん自身も同意されたようですから、
ここでは、かつぢさん自身が言われる
「その発見(2と4の発見)に良い方法」
を中心に語り合いましょう。
私が思うところは、約数を見つけるところまでは、方法がある
エノキングさんが書いたような方法や私の出した方法など
しかし、それは候補を出すまでで、答えを出す方法ではない
確実に一度で見つけられるような方法はないものか？
これが私の言う良い方法です
二次方程式の解の公式を用いれば、一度で見つけることができるのですが、それでは脳がないので(指導順序の問題はありますがそれは大きな問題ではない)
私の立場から言うと、Yojiさんの学習書のような足して( )かけて( )のような練習をすることが大切だと思います(方法に頼るのではなく練習あるのみ)
私の場合は、因数分解の問題を解かせるだけにすると思いますが
無理やりだと思われるかもしれませんが、確実に解ける方法(中学校段階)
x^2+6x+8=(x+3)^2-9+8=(x+3)^2-1=((x+3)+1)((x+3)-1)=(x+4)(x+2)
公式(x+a)^2と(x+a)(x-a)を利用
ではどうでしょう？
ただ、これでは因数分解のメリットが消えてしまいます(解の公式を使っているのと同じ、二次方程式の解を求めるのに因数分解を使う意味がなくなる)
エノキングさんが書いたような方法や私の出した方法など
しかし、それは候補を出すまでで、答えを出す方法ではない
確実に一度で見つけられるような方法はないものか？
これが私の言う良い方法です
二次方程式の解の公式を用いれば、一度で見つけることができるのですが、それでは脳がないので(指導順序の問題はありますがそれは大きな問題ではない)
私の立場から言うと、Yojiさんの学習書のような足して( )かけて( )のような練習をすることが大切だと思います(方法に頼るのではなく練習あるのみ)
私の場合は、因数分解の問題を解かせるだけにすると思いますが
無理やりだと思われるかもしれませんが、確実に解ける方法(中学校段階)
x^2+6x+8=(x+3)^2-9+8=(x+3)^2-1=((x+3)+1)((x+3)-1)=(x+4)(x+2)
公式(x+a)^2と(x+a)(x-a)を利用
ではどうでしょう？
ただ、これでは因数分解のメリットが消えてしまいます(解の公式を使っているのと同じ、二次方程式の解を求めるのに因数分解を使う意味がなくなる)
＞かつぢさん
謙虚に、ご自身の言葉づかいを訂正していただき、大分わかりやすくなりました！
いわば、【一度】ではなく“【一連】の流れに沿うことにより因数分解が完成する方法”ということですね。
では、あらためて#31の方法について考えます。
ここでは便宜上、#31の方法を『平方完成利用法』と呼ばせていただきます。
**************************************************
■例題１）x^2＋13x−48 を因数分解せよ.
『発見メモ』でやると、
前述どおり、実際は“復号”を用いますが、
“マイナスプラス”が変換できないので、ここでは、
【一方の符号のみで書き、
和の絶対値が13になる組を見つけ、
必要の応じて、符号を変える】
という簡略表記型を使います。
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
（「かけて-48」になる2数をメモする）
（当然、48は1で割れる） +1 -48
（2で割れる） +2 -24
（3でも割れる） +3 -16
（4でも割れる） +4 -12
《5では割れない》
（2と3で割れたので） +6 -8
《6と8の間の7では割れないので、終わり！)
（上から、和を計算して） +1 -48＝-47
+2 -24＝-22
+3 -16＝-13
（絶対値13を発見。終わり！）
（符号を変えて） x^2＋13x−48＝（x-3)(x+16）･･･[答]
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
『平方完成利用法』では、
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
x^2＋13x−48
＝(x＋13/2)^2−169/4−192/4
＝(x＋13/2)^2−361/4
＝{(x＋13/2)＋●} {(x＋13/2)−●}
＝・・・・・
┗･････････････････････････････････････････････････････････････┛
かつぢさんにお尋ねします―――
Ｑ. ●の部分には、361/4の正の平方根が入りますが、
中学生に、それを発見する方法をどのように指導されますか？
謙虚に、ご自身の言葉づかいを訂正していただき、大分わかりやすくなりました！
いわば、【一度】ではなく“【一連】の流れに沿うことにより因数分解が完成する方法”ということですね。
では、あらためて#31の方法について考えます。
ここでは便宜上、#31の方法を『平方完成利用法』と呼ばせていただきます。
**************************************************
■例題１）x^2＋13x−48 を因数分解せよ.
『発見メモ』でやると、
前述どおり、実際は“復号”を用いますが、
“マイナスプラス”が変換できないので、ここでは、
【一方の符号のみで書き、
和の絶対値が13になる組を見つけ、
必要の応じて、符号を変える】
という簡略表記型を使います。
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
（「かけて-48」になる2数をメモする）
（当然、48は1で割れる） +1 -48
（2で割れる） +2 -24
（3でも割れる） +3 -16
（4でも割れる） +4 -12
《5では割れない》
（2と3で割れたので） +6 -8
《6と8の間の7では割れないので、終わり！)
（上から、和を計算して） +1 -48＝-47
+2 -24＝-22
+3 -16＝-13
（絶対値13を発見。終わり！）
（符号を変えて） x^2＋13x−48＝（x-3)(x+16）･･･[答]
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
『平方完成利用法』では、
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
x^2＋13x−48
＝(x＋13/2)^2−169/4−192/4
＝(x＋13/2)^2−361/4
＝{(x＋13/2)＋●} {(x＋13/2)−●}
＝・・・・・
┗･････････････････････････････････････････････････････････････┛
かつぢさんにお尋ねします―――
Ｑ. ●の部分には、361/4の正の平方根が入りますが、
中学生に、それを発見する方法をどのように指導されますか？
問題が見つかったため、37は消しました
確かにxの項が奇数だと複雑になりますね(デメリットについては考えていましたが、xの項が奇数のケースは考えていませんでした)
一応プランとしては、公式=x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)と平方完成法の２つを教える予定です
公式のa,bが直感(ひらめき)でわからなければ、平方完成法を使うという指導法です(正直な話平方完成法は因数分解が得意な生徒にとってはめんどくさいだけなので)
√4=2は問題ない
√361=19が問題ですね
近似？の考えで√400=20⇒√361=19となります
この近似の考え方自体は難しくはありません(前単元平方根で似たことやっている)
本当に難しくなるのは√289=17とかですね
√3≒1.73から検討をつけることはできますが、そんなことを思いつく生徒はいないでしょう
この場合２段階の作業になってしまいますね、もし約数を見つける作業を一連の流れと見るならば、この２段階の作業は一連の流れと言えると思います(約数を見つける際にも１から順にやっているので)一連の流れをどの程度で線を引く(定義する)かによると思います
確かにxの項が奇数だと複雑になりますね(デメリットについては考えていましたが、xの項が奇数のケースは考えていませんでした)
一応プランとしては、公式=x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)と平方完成法の２つを教える予定です
公式のa,bが直感(ひらめき)でわからなければ、平方完成法を使うという指導法です(正直な話平方完成法は因数分解が得意な生徒にとってはめんどくさいだけなので)
√4=2は問題ない
√361=19が問題ですね
近似？の考えで√400=20⇒√361=19となります
この近似の考え方自体は難しくはありません(前単元平方根で似たことやっている)
本当に難しくなるのは√289=17とかですね
√3≒1.73から検討をつけることはできますが、そんなことを思いつく生徒はいないでしょう
この場合２段階の作業になってしまいますね、もし約数を見つける作業を一連の流れと見るならば、この２段階の作業は一連の流れと言えると思います(約数を見つける際にも１から順にやっているので)一連の流れをどの程度で線を引く(定義する)かによると思います
私の話したことをふまえた指導プラン(昨日時点)もともとTEXのファイルだったため、見にくいと思いますm(__)m
現在の指導方法(東京書籍)
?ma+mb=m(a+b)
公式としてma+mb=m(a+b)を指導する。
?x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
展開公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abの逆として、因数分解の公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を指導する。
?x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
展開公式(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2の逆として、因数分解の公式x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2を指導する。
?x^2-a^2=(x+a)(x-a)
展開公式(x+a)(x-a)=x^2-a^2の逆として、因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を指導する。
現在の指導方法の問題点
現在の指導方法の指導順序は、「一般から特殊へ」という指導順序になっている。その理由は、展開の指導順序が「一般から特殊へ」にしたがっているためであると思われる。展開の指導順序が「一般から特殊へ」にしたがっている理由は、指導の効率化である。しかし、因数分解の指導においては、「一般から特殊へ」にしたがう必要性を感じない。「一般から特殊へ」にしたがった指導順序の本来の目的は指導の効率化である。しかし、因数分解の指導では効率化は行われていない。「一般から特殊へ」にしたがった指導において指導の効率化を図るには、前の公式を後の公式に応用する必要がある。展開の指導では、前の公式を利用しているのに対し、因数分解ではそれが行われていない。
生徒は、展開に比べ因数分解で困難を生じやすい。その理由は、展開は機械的作業によって答えを導くことができるのに対し、因数分解では法則を見つけ出すことが必要になる。その一種のひらめきが必要になることに生徒は困難を生じるのである。因数分解の公式(「共通因数をくくる」を含まない)では、指導が進むにつれ法則を見つけ出すことが容易になるように思える。生徒が、因数分解に対し苦手意識を持たないようにするためには、指導順序を見直し、「易から難へ」にしたがった指導をすることが必要であると考えられる。
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)は、a,bの組を見つける際、候補を数個あげその中から公式が成立するものを探し出す。ここで、生徒は困難を感じてしまう。生徒が困難を感じないようなa,bの発見が必要だと思われる。
新しい指導方法１
?'ma+mb=m(a+b)
�馗絞�形の面積を考える
縦の長さがm横の長さがaの長方形と縦の長さがm横の長さがbの長方形を横に並べ合体させることで、ma+mbとm(a+b)が等しいことを指導する。
�鯤�配法則を用いる
分配法則m(a+b)の逆として、因数分解の公式ma+mb=m(a+b)を導く。
?'x^2-a^2=(x+a)(x-a)
展開公式(x+a)(x-a)=x^2-a^2の逆として、因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を指導する。
?'x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
展開公式(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2の逆として、因数分解の公式x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2を指導する。
?'x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
�餮�式として指導する
展開公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abの逆として、因数分解の公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を指導する。
�鬚錣�りやすい公式を利用する(平方完成法)
平方完成と公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を利用し、因数分解をする。
x^2+mx+n=(a+m/n)^2-(m/2)^2+n=((x+m/2)+√(n-(m/2)^2))((x+m/2)-√(n-(m/2)^2))
=(x+m/2+√(n-(m/2)^2))(x+m/2-√(n-(m/2)^2))
例,x^2+6x+8を因数分解しなさい。
x^2+6x+8=(x+3)^2-9+8=(x+3)^2-1=((x+3)+1)((x+3)-1)=(x+4)(x+2)
平方完成法による改善点
「特殊から一般へ」にしたがうことで、展開から因数分解への移行において生徒が感じる困難を減少することができると思われる。また、生徒にとって最も困難を生じるx^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)においてよりわかりやすい公式を用いることで、法則の発見が容易になった。現在の指導法では、定数項の約数を数個あげ、候補がxの項について成立するか確かめる必要がある。この作業は、定数項が合成数の場合に最低でも4(約数を見つける)+1(xの項について成立するか確認する)度の作業が必要になったが、新しい方法では、複雑であるが3度の計算で求めることができる。
平方完成法の問題点
因数分解の指導では、展開公式を利用し因数分解の公式を指導するので、展開の指導順序にしたがうことは自然である。展開の公式を利用するにもかかわらず因数分解で「特殊から一般へ」にしたがった指導をすることは不自然である。また、公式を二度用いる方法は、段階を踏む必要がある。それに対し、現在の指導法では気付いてしまえば一度に答えが出てしまう。因数分解が得意な生徒にとって、二度公式を用いる方法はかえって因数分解を面倒なものにしてしまう可能性がある。
現在の指導方法(東京書籍)
?ma+mb=m(a+b)
公式としてma+mb=m(a+b)を指導する。
?x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
展開公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abの逆として、因数分解の公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を指導する。
?x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
展開公式(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2の逆として、因数分解の公式x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2を指導する。
?x^2-a^2=(x+a)(x-a)
展開公式(x+a)(x-a)=x^2-a^2の逆として、因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を指導する。
現在の指導方法の問題点
現在の指導方法の指導順序は、「一般から特殊へ」という指導順序になっている。その理由は、展開の指導順序が「一般から特殊へ」にしたがっているためであると思われる。展開の指導順序が「一般から特殊へ」にしたがっている理由は、指導の効率化である。しかし、因数分解の指導においては、「一般から特殊へ」にしたがう必要性を感じない。「一般から特殊へ」にしたがった指導順序の本来の目的は指導の効率化である。しかし、因数分解の指導では効率化は行われていない。「一般から特殊へ」にしたがった指導において指導の効率化を図るには、前の公式を後の公式に応用する必要がある。展開の指導では、前の公式を利用しているのに対し、因数分解ではそれが行われていない。
生徒は、展開に比べ因数分解で困難を生じやすい。その理由は、展開は機械的作業によって答えを導くことができるのに対し、因数分解では法則を見つけ出すことが必要になる。その一種のひらめきが必要になることに生徒は困難を生じるのである。因数分解の公式(「共通因数をくくる」を含まない)では、指導が進むにつれ法則を見つけ出すことが容易になるように思える。生徒が、因数分解に対し苦手意識を持たないようにするためには、指導順序を見直し、「易から難へ」にしたがった指導をすることが必要であると考えられる。
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)は、a,bの組を見つける際、候補を数個あげその中から公式が成立するものを探し出す。ここで、生徒は困難を感じてしまう。生徒が困難を感じないようなa,bの発見が必要だと思われる。
新しい指導方法１
?'ma+mb=m(a+b)
�馗絞�形の面積を考える
縦の長さがm横の長さがaの長方形と縦の長さがm横の長さがbの長方形を横に並べ合体させることで、ma+mbとm(a+b)が等しいことを指導する。
�鯤�配法則を用いる
分配法則m(a+b)の逆として、因数分解の公式ma+mb=m(a+b)を導く。
?'x^2-a^2=(x+a)(x-a)
展開公式(x+a)(x-a)=x^2-a^2の逆として、因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を指導する。
?'x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
展開公式(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,(x-a)^2=x^2-2ax+a^2の逆として、因数分解の公式x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2を指導する。
?'x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
�餮�式として指導する
展開公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abの逆として、因数分解の公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を指導する。
�鬚錣�りやすい公式を利用する(平方完成法)
平方完成と公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を利用し、因数分解をする。
x^2+mx+n=(a+m/n)^2-(m/2)^2+n=((x+m/2)+√(n-(m/2)^2))((x+m/2)-√(n-(m/2)^2))
=(x+m/2+√(n-(m/2)^2))(x+m/2-√(n-(m/2)^2))
例,x^2+6x+8を因数分解しなさい。
x^2+6x+8=(x+3)^2-9+8=(x+3)^2-1=((x+3)+1)((x+3)-1)=(x+4)(x+2)
平方完成法による改善点
「特殊から一般へ」にしたがうことで、展開から因数分解への移行において生徒が感じる困難を減少することができると思われる。また、生徒にとって最も困難を生じるx^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)においてよりわかりやすい公式を用いることで、法則の発見が容易になった。現在の指導法では、定数項の約数を数個あげ、候補がxの項について成立するか確かめる必要がある。この作業は、定数項が合成数の場合に最低でも4(約数を見つける)+1(xの項について成立するか確認する)度の作業が必要になったが、新しい方法では、複雑であるが3度の計算で求めることができる。
平方完成法の問題点
因数分解の指導では、展開公式を利用し因数分解の公式を指導するので、展開の指導順序にしたがうことは自然である。展開の公式を利用するにもかかわらず因数分解で「特殊から一般へ」にしたがった指導をすることは不自然である。また、公式を二度用いる方法は、段階を踏む必要がある。それに対し、現在の指導法では気付いてしまえば一度に答えが出てしまう。因数分解が得意な生徒にとって、二度公式を用いる方法はかえって因数分解を面倒なものにしてしまう可能性がある。
無駄なものにおいて、私とエノキングさんの考え方にギャップがあるのだと思います
48の約数を見つける際に5を確認するレベルを無駄だと考えるなら、20を考えることも無駄になりますが、5を確認するレベル(私の基準)ならば、20を考えることも認められると思います
私の無駄＜エノキングさんの無駄
私の一連＞エノキングさんの一連
包含関係であらわせば、上のようになるためにズレが生じていてそこに対する議論をしてしまっているのではないでしょうか？
ほとんどの質問は、このギャップに対する質問のようなので
エノキングさんの提案は、このギャップに対する議論はしなくて良いのではないか(必要以上にしすぎではないか)？ということですよね？
48の約数を見つける際に5を確認するレベルを無駄だと考えるなら、20を考えることも無駄になりますが、5を確認するレベル(私の基準)ならば、20を考えることも認められると思います
私の無駄＜エノキングさんの無駄
私の一連＞エノキングさんの一連
包含関係であらわせば、上のようになるためにズレが生じていてそこに対する議論をしてしまっているのではないでしょうか？
ほとんどの質問は、このギャップに対する質問のようなので
エノキングさんの提案は、このギャップに対する議論はしなくて良いのではないか(必要以上にしすぎではないか)？ということですよね？
私は、ただ11から２乗を計算するとは考えていません
そこでは、生徒にある程度の目星をつけさせてから計算させれば、問題はないと思います(11^2が361に近いと思う生徒はいないと考えているのですがそういった生徒もいるのですかね？)
前の単元の平方根の指導で近似の考え方361≒400みたいなものをイメージさせられるような指導をすればよいと思うのですが(話が変わるので深入りしませんが、こういった考え方を身に付けさせるのも大切だと思うのですが)
無駄の基準にいて
48の約数を見つける際に5を確認するレベルを無駄だと考えるなら、20を考えることも無駄になりますが、約数を見つける際に5を確認することを無駄でないと認めるレベル(私の基準)ならば、20を考えることも無駄でないと認められると思います
では説明になりませんか？
一言で言ってしまえば、私にとって無駄だとは思わないことがエノキングさんの無駄にあたる(正しくはエノキングさんのイメージしている「私の言う無駄」)
「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」 に、該当しないのか？ に対する答えは
無駄じゃない(最低限必要)←説明うんちゃらじゃなくはじめから立場を明確にしておくべきでした、そうすれば説明も少しは理解できたと思います すみません
←無駄の定義を「答えでないもの」ではなく「最低限必要なもの以外」に変えさせてください(こちらの方が私の定義に近いので)すみません
あと無駄とか一連についてこだわる気はありません(以下コピぺ)
【何度】も四則計算をしているかと思いますが。
【一連】の定義次第では、『平方完成利用法』も、平方根を見つける計算プロセスを中心に、かつぢさんが言われる「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」のではありませんか？
その一連の作業は、かつぢさんの言う「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」 に、該当しないのか？
と聞かれれば、それ(一連や無駄)について答えることが質問に対する答えだと思います
だから、私の文に一連や無駄という言葉が頻出します
そこでは、生徒にある程度の目星をつけさせてから計算させれば、問題はないと思います(11^2が361に近いと思う生徒はいないと考えているのですがそういった生徒もいるのですかね？)
前の単元の平方根の指導で近似の考え方361≒400みたいなものをイメージさせられるような指導をすればよいと思うのですが(話が変わるので深入りしませんが、こういった考え方を身に付けさせるのも大切だと思うのですが)
無駄の基準にいて
48の約数を見つける際に5を確認するレベルを無駄だと考えるなら、20を考えることも無駄になりますが、約数を見つける際に5を確認することを無駄でないと認めるレベル(私の基準)ならば、20を考えることも無駄でないと認められると思います
では説明になりませんか？
一言で言ってしまえば、私にとって無駄だとは思わないことがエノキングさんの無駄にあたる(正しくはエノキングさんのイメージしている「私の言う無駄」)
「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」 に、該当しないのか？ に対する答えは
無駄じゃない(最低限必要)←説明うんちゃらじゃなくはじめから立場を明確にしておくべきでした、そうすれば説明も少しは理解できたと思います すみません
←無駄の定義を「答えでないもの」ではなく「最低限必要なもの以外」に変えさせてください(こちらの方が私の定義に近いので)すみません
あと無駄とか一連についてこだわる気はありません(以下コピぺ)
【何度】も四則計算をしているかと思いますが。
【一連】の定義次第では、『平方完成利用法』も、平方根を見つける計算プロセスを中心に、かつぢさんが言われる「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」のではありませんか？
その一連の作業は、かつぢさんの言う「無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう」 に、該当しないのか？
と聞かれれば、それ(一連や無駄)について答えることが質問に対する答えだと思います
だから、私の文に一連や無駄という言葉が頻出します
かつぢさん
高校生になったら，たすきがけの因数分解を学びますね。そのときには，どのような方法で因数分解を指導するのでしょうか。
これまでなら，「かけてa,たしてb」に慣れた生徒は，まだいいでしょうが，平方完成法でやってきた生徒は，また新たな方法を習うということになりますね。
たすきがけは，「かけてa,たしてb」の一般パターンだと思います（それで私はそれからやっていますが）。
結局はそれに落ち着くのだと，最初から「かけてa,たしてb」でおしすすめた方がいいのではないでしょうか。
かつぢさんの唱える順序にもそれなりの利点があるように思います。
ここで，どの方法がいいかは，結局，実践でしょうね。生徒にさせてみて，実際に生徒が楽になったかです。
私の感じでは，「一般から特殊で」がベターです。
公式をいくつも組み合わせた因数分解は別にして，１つの公式で解ける問題は，小学生がわり算を解くより，難しくないです。
それより，一連にとらわれてかえって解き方を複雑にしているように思います。
最初は「かけてa,たしてb」で解くが，それで難しいときは，「平方完成法」で，というのもいいかもしれません。今後，生徒が習いに来たときに試してみましょう。
高校生になったら，たすきがけの因数分解を学びますね。そのときには，どのような方法で因数分解を指導するのでしょうか。
これまでなら，「かけてa,たしてb」に慣れた生徒は，まだいいでしょうが，平方完成法でやってきた生徒は，また新たな方法を習うということになりますね。
たすきがけは，「かけてa,たしてb」の一般パターンだと思います（それで私はそれからやっていますが）。
結局はそれに落ち着くのだと，最初から「かけてa,たしてb」でおしすすめた方がいいのではないでしょうか。
かつぢさんの唱える順序にもそれなりの利点があるように思います。
ここで，どの方法がいいかは，結局，実践でしょうね。生徒にさせてみて，実際に生徒が楽になったかです。
私の感じでは，「一般から特殊で」がベターです。
公式をいくつも組み合わせた因数分解は別にして，１つの公式で解ける問題は，小学生がわり算を解くより，難しくないです。
それより，一連にとらわれてかえって解き方を複雑にしているように思います。
最初は「かけてa,たしてb」で解くが，それで難しいときは，「平方完成法」で，というのもいいかもしれません。今後，生徒が習いに来たときに試してみましょう。
●おお！
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
←無駄の定義を「答えでないもの」ではなく「最低限必要なもの
以外」に変えさせてください(こちらの方が私の定義に近いので)
すみません
┗･････････････････････････････････････････････････････････････┛
かつぢさん、またまた【謙虚に定義の変更】をしてくださいましたね！！！！！！
こちらの指摘をきちんと受け止めて、考えてくださるかつぢさんとの対話は大変有意義であり、うれしく思います。
●また、以下のように【私の提案・主張】も受け止めてくださりましたね。
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
あと無駄とか一連についてこだわる気はありません
┗･････････････････････････････････････････････････････････････┛
以後の対話がいっそう楽しみです。
★以上の【かつぢさんの変更】を踏まえて、私の『発見メモ』に対する指摘
＞x^2+6x+8であれば、±1,±8,-2,-4という無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう
も取り下げたものとみなし、これまで質問形式で行ってきた、この指摘への反論を終了します。次段階へと進みます。
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
←無駄の定義を「答えでないもの」ではなく「最低限必要なもの
以外」に変えさせてください(こちらの方が私の定義に近いので)
すみません
┗･････････････････････････････････････････････････････････････┛
かつぢさん、またまた【謙虚に定義の変更】をしてくださいましたね！！！！！！
こちらの指摘をきちんと受け止めて、考えてくださるかつぢさんとの対話は大変有意義であり、うれしく思います。
●また、以下のように【私の提案・主張】も受け止めてくださりましたね。
┏･････････････････････････････････････････････････････････････┓
あと無駄とか一連についてこだわる気はありません
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以後の対話がいっそう楽しみです。
★以上の【かつぢさんの変更】を踏まえて、私の『発見メモ』に対する指摘
＞x^2+6x+8であれば、±1,±8,-2,-4という無駄なもの(答えでないもの)が出てしまう
も取り下げたものとみなし、これまで質問形式で行ってきた、この指摘への反論を終了します。次段階へと進みます。
さて、話は少し変わって・・・・
と、その前にちょっとまとめてみますと・・・
『発見メモ』について
******************************************************
?x^2＋▲x＋■ の因数分解は、「かけて■」「たして▲」になる２数が分かればできる。
?しかし一般に「その２数が分かるにはひらめきが必要だ」と思われているが、果たしてそれは本当か？
?30年ほどの指導体験からいうと、例えば「かけて32」になる２数には[1と32][4と8]などがあることぐらいは、ほとんどの生徒が分かる。
?ひらめきよりもむしろ、生徒が悩むのは【頭の中で】「それで全部か？」を判断することと、さらに悩むのは【頭の中で】「それらの2数の和を計算すること」である。式を書かずに計算する訓練をしていないのだ。
?【頭の中だけで】やるのではなく、紙に書いて目に見える形に表す方法を教えれば、ほとんどの子どもが簡単にできる。 それが『発見メモ』である。
?そして、【頭の中で】処理できない子どもも『発見メモ』を2,3日書いていると、ほとんどが【頭の中で】処理できるようになった。
******************************************************
『平方完成利用法』も、指導する側にとっては大変興味深い方法だ！
●『発見メモ』と『平方完成利用法』との大きな違いは、『発見メモ』は【“頭の中だけで処理する能力”を育成・強化する】方法であるのに対して、『平方完成利用法』は、俗に言うひらめき力に見切りをつけて、全く違うアプローチをするものである。
したがって、『平方完成利用法』は【“頭の中だけで処理する能力”の育成・強化は意図していない】
『平方完成利用法』で気になる点をまとめると、
･････････････････････････････････････････････････････
?xの係数が奇数になると、分数の計算をすることになり、少し難しくなる。
?平方数が大きくなると、平方根の発見に苦労することがある
?小学校から中2までの学習過程で、俗に言うひらめき力が育っていない子は、??の計算をスムーズにこなすだけの計算力がない場合が多いのではないか、と指導体験から推測される。
?指導の大きな目標である【“頭の中だけで処理する能力”の育成・強化】には、結びつきにくく、他のきっかけでもなければ、ずっとこの方法を使わざるを得ない。
･････････････････････････････････････････････････････
子どもの立場で考えると『発見メモ』のほうが現状に適合しているように思う。
もちろん、『平方完成利用法』も大変興味深い。
と、その前にちょっとまとめてみますと・・・
『発見メモ』について
******************************************************
?x^2＋▲x＋■ の因数分解は、「かけて■」「たして▲」になる２数が分かればできる。
?しかし一般に「その２数が分かるにはひらめきが必要だ」と思われているが、果たしてそれは本当か？
?30年ほどの指導体験からいうと、例えば「かけて32」になる２数には[1と32][4と8]などがあることぐらいは、ほとんどの生徒が分かる。
?ひらめきよりもむしろ、生徒が悩むのは【頭の中で】「それで全部か？」を判断することと、さらに悩むのは【頭の中で】「それらの2数の和を計算すること」である。式を書かずに計算する訓練をしていないのだ。
?【頭の中だけで】やるのではなく、紙に書いて目に見える形に表す方法を教えれば、ほとんどの子どもが簡単にできる。 それが『発見メモ』である。
?そして、【頭の中で】処理できない子どもも『発見メモ』を2,3日書いていると、ほとんどが【頭の中で】処理できるようになった。
******************************************************
『平方完成利用法』も、指導する側にとっては大変興味深い方法だ！
●『発見メモ』と『平方完成利用法』との大きな違いは、『発見メモ』は【“頭の中だけで処理する能力”を育成・強化する】方法であるのに対して、『平方完成利用法』は、俗に言うひらめき力に見切りをつけて、全く違うアプローチをするものである。
したがって、『平方完成利用法』は【“頭の中だけで処理する能力”の育成・強化は意図していない】
『平方完成利用法』で気になる点をまとめると、
･････････････････････････････････････････････････････
?xの係数が奇数になると、分数の計算をすることになり、少し難しくなる。
?平方数が大きくなると、平方根の発見に苦労することがある
?小学校から中2までの学習過程で、俗に言うひらめき力が育っていない子は、??の計算をスムーズにこなすだけの計算力がない場合が多いのではないか、と指導体験から推測される。
?指導の大きな目標である【“頭の中だけで処理する能力”の育成・強化】には、結びつきにくく、他のきっかけでもなければ、ずっとこの方法を使わざるを得ない。
･････････････････････････････････････････････････････
子どもの立場で考えると『発見メモ』のほうが現状に適合しているように思う。
もちろん、『平方完成利用法』も大変興味深い。
エノキングさんの
?【頭の中だけで】やるのではなく、紙に書いて目に見える形に表す方法を教えれば、ほとんどの子どもが簡単にできる。 それが『発見メモ』である。
?そして、【頭の中で】処理できない子どもも『発見メモ』を2,3日書いていると、ほとんどが【頭の中で】処理できるようになった。
に，同感です。
私も，手を使え，鉛筆を動かせ，鉛筆の先，ノートに書かれた文字や図も脳の一部なんだよ，とかなり強調しています。しかし，生徒たちはなかなかそれをせず，時間もかかり，正解率も低い，頭での計算をよくしますね。
これまで以上に強調して指導したいと思います。
エノキングさんも書き込まれているように，「平方完成」もおもしろいと思います。じっさいに教える中でやってみて生徒の反応を見てみたいと思っています。
?【頭の中だけで】やるのではなく、紙に書いて目に見える形に表す方法を教えれば、ほとんどの子どもが簡単にできる。 それが『発見メモ』である。
?そして、【頭の中で】処理できない子どもも『発見メモ』を2,3日書いていると、ほとんどが【頭の中で】処理できるようになった。
に，同感です。
私も，手を使え，鉛筆を動かせ，鉛筆の先，ノートに書かれた文字や図も脳の一部なんだよ，とかなり強調しています。しかし，生徒たちはなかなかそれをせず，時間もかかり，正解率も低い，頭での計算をよくしますね。
これまで以上に強調して指導したいと思います。
エノキングさんも書き込まれているように，「平方完成」もおもしろいと思います。じっさいに教える中でやってみて生徒の反応を見てみたいと思っています。
なるほど。
発見メモ、おそるべし！といった感じです＾＾
是非新年度の因数分解指導時には「これを解くときにはね、『エノキングの発見メモ』っていうやり方があるんだよ」と言って教えたいと思います＾＾
そして、「これに慣れるために『エノキングYojiの発見メモ』という問題があるんだけど、やってみる？」と誘導しようかと・・・。
（ところでエノキングYojiという名称は、ハミルトンケーリーやコーシーシュワルツやボイルシャルルやワトソンクリック・・・挙げるとキリが無いですが、そういったものに似てますね）
ただ、生徒の中には、「かけてa、たしてb」をやるより、平方完成や解の公式を使って解いた方が断然やりやすいという生徒もいるんですよね。
発見メモ、おそるべし！といった感じです＾＾
是非新年度の因数分解指導時には「これを解くときにはね、『エノキングの発見メモ』っていうやり方があるんだよ」と言って教えたいと思います＾＾
そして、「これに慣れるために『エノキングYojiの発見メモ』という問題があるんだけど、やってみる？」と誘導しようかと・・・。
（ところでエノキングYojiという名称は、ハミルトンケーリーやコーシーシュワルツやボイルシャルルやワトソンクリック・・・挙げるとキリが無いですが、そういったものに似てますね）
ただ、生徒の中には、「かけてa、たしてb」をやるより、平方完成や解の公式を使って解いた方が断然やりやすいという生徒もいるんですよね。
＞ただ、生徒の中には、「かけてa、たしてb」をやるより、
＞平方完成や解の公式を使って解いた方が断然やりやすい
＞という生徒もいるんですよね。
↑#49全体や、特に上の文章から推察するに、おりじんさんは
?『エノキングの発見メモ』以外の方法で、「かけてa、たしてb」のやり方を指導したことがある
?因数分解のあとの単元「二次方程式」で学ぶ平方完成や、主に数?のはじめで学ぶ「解の公式による因数分解」を、中3に指導したことがある
?しかし、『エノキングの発見メモ』による指導はしたことはない
ということのようですね。
●よろしければ、?を実践してからの比較分析をお知らせいただくとありがたく思います。詳しい分析であればあるほど、ますます。
私も自分以外の人が指導に使うとどうであるか、ということに大変興味があります。
＞平方完成や解の公式を使って解いた方が断然やりやすい
＞という生徒もいるんですよね。
↑#49全体や、特に上の文章から推察するに、おりじんさんは
?『エノキングの発見メモ』以外の方法で、「かけてa、たしてb」のやり方を指導したことがある
?因数分解のあとの単元「二次方程式」で学ぶ平方完成や、主に数?のはじめで学ぶ「解の公式による因数分解」を、中3に指導したことがある
?しかし、『エノキングの発見メモ』による指導はしたことはない
ということのようですね。
●よろしければ、?を実践してからの比較分析をお知らせいただくとありがたく思います。詳しい分析であればあるほど、ますます。
私も自分以外の人が指導に使うとどうであるか、ということに大変興味があります。
≪たすきがけによる因数分解≫について
普通、たすきがけによって因数分解を行う問題も、たすきがけを使わずに行う以下のような方法がありますね。
★ほぼ「かけてa，たしてb」と同じ感覚でできる！！
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
[ ax^2＋bx＋c の因数分解 ]
?aとcをかけあわせる（＝acを求める）
?「かけてac, たしてb」となる２数を求める
（↑『エノキングの発見メモ』をお使いください(^_^)）
?bxを、?で求めた２数を係数とする２項に分ける（→全体が４項に）
?前２項、後２項をそれぞれ共通因数でくくる（→前・後に新たな共通因数が出現）
??で出現した共通因数で、さらに全体をくくって完成！
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
例題１） 6x^2−11x＋3 の因数分解.
? 6×3＝18
?「かけて18，たして−11」となるのは−2と−9なので（以下、答案作成↓）
6x^2−11x＋3
? ＝6x^2−2x −9x＋3
? ＝2x（3x−1） −3（3x−1）
? ＝(3x−1)(2x−3） ・・・[答]
普通、たすきがけによって因数分解を行う問題も、たすきがけを使わずに行う以下のような方法がありますね。
★ほぼ「かけてa，たしてb」と同じ感覚でできる！！
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
[ ax^2＋bx＋c の因数分解 ]
?aとcをかけあわせる（＝acを求める）
?「かけてac, たしてb」となる２数を求める
（↑『エノキングの発見メモ』をお使いください(^_^)）
?bxを、?で求めた２数を係数とする２項に分ける（→全体が４項に）
?前２項、後２項をそれぞれ共通因数でくくる（→前・後に新たな共通因数が出現）
??で出現した共通因数で、さらに全体をくくって完成！
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
例題１） 6x^2−11x＋3 の因数分解.
? 6×3＝18
?「かけて18，たして−11」となるのは−2と−9なので（以下、答案作成↓）
6x^2−11x＋3
? ＝6x^2−2x −9x＋3
? ＝2x（3x−1） −3（3x−1）
? ＝(3x−1)(2x−3） ・・・[答]
Yojiさん、かつぢさん、
この方法は昔、本に書かれていて、「そうだよね〜！」と気づきました。
「ウワッ！たすきがけって面倒くさそう」
っていう表情をする中高生がいると、すかさず
「この場合も、『かけて■、たして●』とほぼ同様な方法でできるから、たすきがけができなくても大丈夫だけどね(^_^)」
と、安心させるために説明・使用しています。
したがって、私における使用頻度は決して高くはありません。
その本には、なにかひと工夫する必要があるケースもごく短く書かれていたような気もしますが、使用頻度が低いこともあり、現在のところ不都合は生じていません。
お二人に好評なので（←大変うれしいです！！）、ネタ本を探しつつ、本気で研究してみます。
で、便宜上ネーミングしておきますと―――
★この方法は『エノキングのたすきがけ不要法』といいます（^_^)！！
注意）↑完全に盗用です(^_^)
公式の場でご使用の際には“エノキングの”を削除してください○┓ﾍﾟｺｯ！(^_^)
私的な場では『（紹介者が）エノキングのたすきがけ不要法』で、よろしく！！(^_^)
この方法は昔、本に書かれていて、「そうだよね〜！」と気づきました。
「ウワッ！たすきがけって面倒くさそう」
っていう表情をする中高生がいると、すかさず
「この場合も、『かけて■、たして●』とほぼ同様な方法でできるから、たすきがけができなくても大丈夫だけどね(^_^)」
と、安心させるために説明・使用しています。
したがって、私における使用頻度は決して高くはありません。
その本には、なにかひと工夫する必要があるケースもごく短く書かれていたような気もしますが、使用頻度が低いこともあり、現在のところ不都合は生じていません。
お二人に好評なので（←大変うれしいです！！）、ネタ本を探しつつ、本気で研究してみます。
で、便宜上ネーミングしておきますと―――
★この方法は『エノキングのたすきがけ不要法』といいます（^_^)！！
注意）↑完全に盗用です(^_^)
公式の場でご使用の際には“エノキングの”を削除してください○┓ﾍﾟｺｯ！(^_^)
私的な場では『（紹介者が）エノキングのたすきがけ不要法』で、よろしく！！(^_^)
『たすきがけ不要法』は、下記のリンク先の本では『左右積法』という名称で紹介されています。
http://www.amazon.co.jp/%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E8%A9%A6%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%AA%81%E7%A0%B4%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8A%9B%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%B0-%E4%B8%8A-%E5%B1%B1%E5%B4%8E-%E4%BA%98/dp/4876476160
ただし、???のやり方が、私が紹介した方法とは異なります。
http://www.amazon.co.jp/%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E8%A9%A6%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%AA%81%E7%A0%B4%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8A%9B%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%B0-%E4%B8%8A-%E5%B1%B1%E5%B4%8E-%E4%BA%98/dp/4876476160
ただし、???のやり方が、私が紹介した方法とは異なります。
●ところで、私個人はこの『たすきがけ不要法』（『左右積法』）に対しては、ほとんど“思い入れ”の類いは有しておりません。上述したように、使用頻度も決して高くありません。
普段はほとんど「たすきがけ」を使用しております。
たすきがけは適度な頭の体操だ、と考えております。
●それに対して、『エノキングの発見メモ』は、「平方完成」も「２次方程式の解の公式」も知らない中学生が、初めて因数分解に望むときに大きな味方になるメモ法だと思っています。
「かけてb、たしてa」ができなければ、『たすきがけ不要法』も使えない。
中学生がそのとき置かれる一般的な状況を考えるとき、『エノキングの発見メモ』への拘りは、大きなものがあります。
●高校生になると、「たすきがけ」を使おうが、『たすきがけ不要法』を使おうが、「平方完成」を使おうが、「２次方程式の解の公式」を使おうが、好き好きだと思います。
中学生のときに一度因数分解の基礎を学んだ高校生ならば、それなりの余裕を持っていろいろな解き方にチャレンジできることでしょう。
「２次方程式の解の公式」も、少し練習すれば、【頭の中だけで】数秒ほどで計算ができる。出てきた解の分母にあわせて、x^2の係数を因数分解して分配すればよい。
●基礎部分の指導と応用発展部分の指導は、自ずと変わるものだと考えます。
泳ぎに初めて挑戦する子には、息継ぎの練習をしっかりとさせるでしょうが、それをクリアすると、あとはいろいろな泳ぎにチャレンジさせればいい。
塾で学校の先取り学習をする子には、「学校では、このような方法を習うからね」と教えておく必要が有り、学校ですでに習っている子には、「実は、学校では教えないこんな方法もあるのだよ」と教えることもできる。不登校の子には・・・
●生徒一人ひとりの状況を考慮するところから、学習指導は始まりますね。
今回の対話を通して、そんなことを再確認した次第です。
普段はほとんど「たすきがけ」を使用しております。
たすきがけは適度な頭の体操だ、と考えております。
●それに対して、『エノキングの発見メモ』は、「平方完成」も「２次方程式の解の公式」も知らない中学生が、初めて因数分解に望むときに大きな味方になるメモ法だと思っています。
「かけてb、たしてa」ができなければ、『たすきがけ不要法』も使えない。
中学生がそのとき置かれる一般的な状況を考えるとき、『エノキングの発見メモ』への拘りは、大きなものがあります。
●高校生になると、「たすきがけ」を使おうが、『たすきがけ不要法』を使おうが、「平方完成」を使おうが、「２次方程式の解の公式」を使おうが、好き好きだと思います。
中学生のときに一度因数分解の基礎を学んだ高校生ならば、それなりの余裕を持っていろいろな解き方にチャレンジできることでしょう。
「２次方程式の解の公式」も、少し練習すれば、【頭の中だけで】数秒ほどで計算ができる。出てきた解の分母にあわせて、x^2の係数を因数分解して分配すればよい。
●基礎部分の指導と応用発展部分の指導は、自ずと変わるものだと考えます。
泳ぎに初めて挑戦する子には、息継ぎの練習をしっかりとさせるでしょうが、それをクリアすると、あとはいろいろな泳ぎにチャレンジさせればいい。
塾で学校の先取り学習をする子には、「学校では、このような方法を習うからね」と教えておく必要が有り、学校ですでに習っている子には、「実は、学校では教えないこんな方法もあるのだよ」と教えることもできる。不登校の子には・・・
●生徒一人ひとりの状況を考慮するところから、学習指導は始まりますね。
今回の対話を通して、そんなことを再確認した次第です。
平方完成についてですが、因数分解と二次方程式をごっちゃにして考えてました。因数分解では平方完成で教えたことはありません。解の公式についても同様で、これで教えたことはありませんでした。ただ、自分が定数項の数が大きくて約数の組み合わせを発見できないときに、解の公式で出していることもあります。
ただ、エノキングの発見メモを知った以上は、今までの手探りの苦労が軽減されると思います。
先日、小6の復習で約数倍数のところをやったのですが、約数の見つけ方で、エノキングの発見メモを使ってみました。
おそらく、多くの生徒は、少ない数字から「かけて答えの数」になるのを探していき、答えの数字になるまで続けるようです。その際、掛け算の相方の数字は見捨ててしまうようで、たとえば、
24の約数は
1×24だから、まず1
2×12だから、2
・
・
・
12×2だから、12
24×1だから、24
という風に。
小学生の約数倍数の単元でも、エノキングの発見メモは役立ちました。
というより、約数倍数のところからの延長線上に因数分解があるから当たり前ですね・・・。
ただ、エノキングの発見メモを知った以上は、今までの手探りの苦労が軽減されると思います。
先日、小6の復習で約数倍数のところをやったのですが、約数の見つけ方で、エノキングの発見メモを使ってみました。
おそらく、多くの生徒は、少ない数字から「かけて答えの数」になるのを探していき、答えの数字になるまで続けるようです。その際、掛け算の相方の数字は見捨ててしまうようで、たとえば、
24の約数は
1×24だから、まず1
2×12だから、2
・
・
・
12×2だから、12
24×1だから、24
という風に。
小学生の約数倍数の単元でも、エノキングの発見メモは役立ちました。
というより、約数倍数のところからの延長線上に因数分解があるから当たり前ですね・・・。
久しぶりに，このトピに書き込みします。
いま，中学３年生に因数分解を教えているところです。
私は，一般から特殊へと教えます。
一通り教えてあとで，複雑な因数分解に入っています。
さて，学力の低い生徒は，因数分解のどの公式を使ったらいいのかが，よく分かりません。学力の高い生徒でも慣れるまではなかなか難しい。
そのどれを使ったらいいのか分からないでいる生徒に，「あんたは，表を使ってやるのできるでしょう。それでやればいいよ」とアドバイスをするとすぐにできました。
表を使っての因数分解というのは，いわゆるたすきがけのもので，一般的なものです。
確かに，公式は覚えた方がいい。学力の高い生徒には覚えるように指導します。平方差の公式，平方公式は，公式を覚えてやったほうがずっと楽にできます。
しかし，学力の低い生徒は，頭を使えば楽にできるが，その頭を使うことがうまくない。それで，基本的に一般的な因数分解（たすきがけ）だけをきちんとできるようにする。
そして，平方差であらおうが平方であろうが，すべてそれでやる。その方が確実です。
共通因数の場合はまた別に教える必要がありますが。
いま，中学３年生に因数分解を教えているところです。
私は，一般から特殊へと教えます。
一通り教えてあとで，複雑な因数分解に入っています。
さて，学力の低い生徒は，因数分解のどの公式を使ったらいいのかが，よく分かりません。学力の高い生徒でも慣れるまではなかなか難しい。
そのどれを使ったらいいのか分からないでいる生徒に，「あんたは，表を使ってやるのできるでしょう。それでやればいいよ」とアドバイスをするとすぐにできました。
表を使っての因数分解というのは，いわゆるたすきがけのもので，一般的なものです。
確かに，公式は覚えた方がいい。学力の高い生徒には覚えるように指導します。平方差の公式，平方公式は，公式を覚えてやったほうがずっと楽にできます。
しかし，学力の低い生徒は，頭を使えば楽にできるが，その頭を使うことがうまくない。それで，基本的に一般的な因数分解（たすきがけ）だけをきちんとできるようにする。
そして，平方差であらおうが平方であろうが，すべてそれでやる。その方が確実です。
共通因数の場合はまた別に教える必要がありますが。
私は，最近，やはり因数分解の指導も一般から特殊がいいな，と改めて思っています。
今年，「基礎だけでも，数学中３」の教材を新たに作っています。
今年は，特に学力の低い生徒が中３にいます。その子たちのために，難問や応用問題はいいから，基礎的な問題は解けるようにしたいと思い，作っています。
作る前に，同僚である妻と話し合いました。水道方式のコミュでも話題になったが，一般から特殊へか，特殊から一般へか。
妻は，すかさず，「一般から特殊へがいい」と答えました。
一般的な解き方を教えておけば，何にでも適応できる。どの公式を使うのかを迷う必要がない。学力の低い生徒ほど，どの公式を使うのかを判断するのは難しい。
とのことです。
ただし，x~2の係数は１のものから始めました。
すべて同じ方法で解かせ，同じのが出てきたら ( )~2 にするんだ，
9x~2-4 は，xの係数が０と考えればいいんだ
3x~2-6x は，定数項が０だと考えればいいんだ。
というだけ。
いま，やっていますが，とてもスムーズです。
共通因数の場合は，少し発展させる必要がありますが。
今年，「基礎だけでも，数学中３」の教材を新たに作っています。
今年は，特に学力の低い生徒が中３にいます。その子たちのために，難問や応用問題はいいから，基礎的な問題は解けるようにしたいと思い，作っています。
作る前に，同僚である妻と話し合いました。水道方式のコミュでも話題になったが，一般から特殊へか，特殊から一般へか。
妻は，すかさず，「一般から特殊へがいい」と答えました。
一般的な解き方を教えておけば，何にでも適応できる。どの公式を使うのかを迷う必要がない。学力の低い生徒ほど，どの公式を使うのかを判断するのは難しい。
とのことです。
ただし，x~2の係数は１のものから始めました。
すべて同じ方法で解かせ，同じのが出てきたら ( )~2 にするんだ，
9x~2-4 は，xの係数が０と考えればいいんだ
3x~2-6x は，定数項が０だと考えればいいんだ。
というだけ。
いま，やっていますが，とてもスムーズです。
共通因数の場合は，少し発展させる必要がありますが。
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