- 詳細 2020年4月27日 15:25更新
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楕円曲線の世界。
「楕円曲線はありとあらゆる数学の神秘を背負い込んでいる」
「楕円曲線ひとつ描くことで神秘は私たちの手元に来て静かにたたずむ」
（加藤和也先生 談）
不定方程式 X2 + Y2 = Z2 の整数解を決定することは、円 x2 + y2 = 1 の有理点を決定することと同じである。 楕円や双曲線等の2次方程式で定義される曲線についても、 円の場合と同様に扱える。よって、次に問題になる曲線は、 a, b, cを整数として、方程式
E: y2 = x3 + ax2 + bx + c
で表されるものである。ここで、3次方程式
x3 + ax2 + bx + c = 0
が重根を持たない場合が重要である。 そのような曲線Eを楕円曲線という。 楕円曲線E上の点の全体は、 次のような演算によって無限遠点∞を単位元とするアーベル群をなす。
E上の2点P，Qに対して、 PとQを結ぶ直線と楕円曲線Eとのもう一つの交点をRとし、 x軸に関してRと対称な点をR'とするとき、
P + Q = R'
と定義する。Rの逆元は-R=R'である。
P = (x1, y1)， Q = (x2, y2)， R = (x3, y3),
t = (y2 - y1)/(x2 - x1)
とすれば、直線PQの方程式
y = t(x - x1) + y1
をEの方程式に代入して、
(t(x - x1) + y1)2 = x3 + ax2 + bx + c,
x3 + (a - t2)x2 + b'x + c' = 0.
x = x1, x2, x3 はこの3次方程式の3根だから、根と係数の関係によって、
x1 + x2 + x3 = t2 - a
となる。したがって、
x3 = t2 - a - x1 - x2,
y3 = t(x3 - x1) + y1.
この等式から、P, Qのx, y座標が有理数ならば、 P + Qのx, y座標も有理数であることがわかる。したがって、 E(Q)を E上の有理点全体の集合に無限遠点∞を付け加えた集合とすれば、 E(Q)はアーベル群になる。 モーデルは、有限個のE(Q)の点 P1, ... , Pr が存在して、任意のE(Q)の点Pは、
P = n1 P1 + … + nrPr, n1, ... , nr は整数
と表せることを証明した。このrを楕円曲線Eのランクという。 ランクについては、BirchとSwinerton-Dyerによる予想がある。 また、Wilesによるフェルマー予想の解決も楕円曲線を用いている。
