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コメント(37)
数学上最も美しい式
某数学者はオイラーの宝石と呼んだ
e^iπ+1=0
の解説。
これはやりたいなと思います。
>部長へ
(1) e^x , sinx , cosx をマクローリン展開しなさい。
(2) f(x)=e^x とおく。f(iθ)を求めよ。
(3) sinθとcosθとe^iθを一つの式にまとめよ
(5) xを定数、yを変数としてe(x+yi)を描け。自由に作図してよい。
(4) はヒントになります。どうしても分からないときに見ても良い。
(5)をやるために、私が2日考えた過程。
→(4) 複素数e^(x+yi)の実部をu(x)、虚部をv(x)として。u(x) , v(x)を求めなさい。
某数学者はオイラーの宝石と呼んだ
e^iπ+1=0
の解説。
これはやりたいなと思います。
>部長へ
(1) e^x , sinx , cosx をマクローリン展開しなさい。
(2) f(x)=e^x とおく。f(iθ)を求めよ。
(3) sinθとcosθとe^iθを一つの式にまとめよ
(5) xを定数、yを変数としてe(x+yi)を描け。自由に作図してよい。
(4) はヒントになります。どうしても分からないときに見ても良い。
(5)をやるために、私が2日考えた過程。
→(4) 複素数e^(x+yi)の実部をu(x)、虚部をv(x)として。u(x) , v(x)を求めなさい。
上で出された問題を解く前にマクローリン展開について質問します！
このマクローリン展開というのは、xほぼイコール０という点において何回も微分して近似の精度を上げたものと考えれば良いのでしょうか？
そしてテイラー展開というのは、それをxほぼイコール０ではなくてxほぼイコールａという普遍的なものでも使えるようにしたバージョンだと考えれば良いのでしょうか？
今、大学の参考書をがんばって読み進めていますが、自分でも理解できているのかかなり不安です。公式を覚えるのは、簡単なんですけど、それじゃあ使いものになりませんし・・・。
ところで話は変わりますが、部誌について、
一つ案を出させていただきます。
（２）の物理に関して
「ナノテクノロジー」なんてどうでしょうてどうでしょう。
あいにく、量子力学に関しては無知ですが（いや、これを機にしっかり勉強してみるのもいいかもしれません。確か私の行く大学の二年で必修科目だったはず）、j.ストーズ.ホールという人が書いた
「ナノフューチャー」という本を読むと夢が広がります。
中には、信じられないものもありますが・・・。
このマクローリン展開というのは、xほぼイコール０という点において何回も微分して近似の精度を上げたものと考えれば良いのでしょうか？
そしてテイラー展開というのは、それをxほぼイコール０ではなくてxほぼイコールａという普遍的なものでも使えるようにしたバージョンだと考えれば良いのでしょうか？
今、大学の参考書をがんばって読み進めていますが、自分でも理解できているのかかなり不安です。公式を覚えるのは、簡単なんですけど、それじゃあ使いものになりませんし・・・。
ところで話は変わりますが、部誌について、
一つ案を出させていただきます。
（２）の物理に関して
「ナノテクノロジー」なんてどうでしょうてどうでしょう。
あいにく、量子力学に関しては無知ですが（いや、これを機にしっかり勉強してみるのもいいかもしれません。確か私の行く大学の二年で必修科目だったはず）、j.ストーズ.ホールという人が書いた
「ナノフューチャー」という本を読むと夢が広がります。
中には、信じられないものもありますが・・・。
マクローリン展開はx=0での挙動を解析することで、その関数と同じ挙動を示す多項式関数を探す
という作業である。
ただし、無限に展開する為に、解析する関数は無限階微分可能でなければならない。
歴史については知らないが、式の形を見る限り
「マクローリン展開はテイラー展開をx=0近傍で行ったもの」
または
「マクローリン展開を一般化したのがテイラー展開」
ともいえそう。
んで、無限に展開している限りは等しい関数。
f(x)=e^xとすると
テイラー展開して
f(x)=Σ(n:0→∞)(x^n)/n!
が成り立つ
今 e^2.7を求めたいとする。
しかし、2.7乗という計算が出来ない。
なので、
f(2.7)=Σ(n:0→∞)(2.7^n)/n!
とすると手計算可能になる。
という便利ツールくらいに考えてくれ。（一先ずは
俺もマコも数学科に行くわけじゃないし、厳密な話は知らない。
先ず部長には考えを変えてもらう。
公式は覚えるものじゃない。
公式は理解して作るもの。
意味を理解しなければ、そこからの発展はありえない。
逆に、自分で考えて公式を作ることが出来る。
例えば、曲線の長さ。
あれは教科書になくても自分で作れる典型例。
俺は作った。
という作業である。
ただし、無限に展開する為に、解析する関数は無限階微分可能でなければならない。
歴史については知らないが、式の形を見る限り
「マクローリン展開はテイラー展開をx=0近傍で行ったもの」
または
「マクローリン展開を一般化したのがテイラー展開」
ともいえそう。
んで、無限に展開している限りは等しい関数。
f(x)=e^xとすると
テイラー展開して
f(x)=Σ(n:0→∞)(x^n)/n!
が成り立つ
今 e^2.7を求めたいとする。
しかし、2.7乗という計算が出来ない。
なので、
f(2.7)=Σ(n:0→∞)(2.7^n)/n!
とすると手計算可能になる。
という便利ツールくらいに考えてくれ。（一先ずは
俺もマコも数学科に行くわけじゃないし、厳密な話は知らない。
先ず部長には考えを変えてもらう。
公式は覚えるものじゃない。
公式は理解して作るもの。
意味を理解しなければ、そこからの発展はありえない。
逆に、自分で考えて公式を作ることが出来る。
例えば、曲線の長さ。
あれは教科書になくても自分で作れる典型例。
俺は作った。
結局は近似式と変わらないが無限が絡んでいるので、詳細への言及は避けておく。
そこまで詳しくない。
ちなみに、結局近似と同じことをやっているともいえる。
e^πを計算してみるといいよ。
e=[2.71,2.72]
π=[3.14,3.15]
しか知らないと
e^π≧e^3≒19.9025
まず、π乗が出来ないから細かい値を計算できない。出来なくは無いけど、丸一日かかりうる。
そこでテイラー展開の登場
e^x=Σ(n:0→∞)(x^n)/n!だから
e^π=Σ(n:0→∞)(π^n)/n!
≒22.8835591
多項式関数に直せるから、精密な近似が可能。
π=3.14を入れた時点で近似にはなるが、どの時点で近似とはいえない。
ある種哲学なので
そこまで詳しくない。
ちなみに、結局近似と同じことをやっているともいえる。
e^πを計算してみるといいよ。
e=[2.71,2.72]
π=[3.14,3.15]
しか知らないと
e^π≧e^3≒19.9025
まず、π乗が出来ないから細かい値を計算できない。出来なくは無いけど、丸一日かかりうる。
そこでテイラー展開の登場
e^x=Σ(n:0→∞)(x^n)/n!だから
e^π=Σ(n:0→∞)(π^n)/n!
≒22.8835591
多項式関数に直せるから、精密な近似が可能。
π=3.14を入れた時点で近似にはなるが、どの時点で近似とはいえない。
ある種哲学なので
ホントはもう少しこまごまと計算の過程を述べるべきなのでしょうがキーボードで数式を打つのになれていない、ので解答をかくのが精一杯です。下の式にすら入力ミスがあるかもしれません。
(1)まずは普通にマクローリン展開を行います
e^x=1+x/1!+x^2/2!+・・・+x^n/n!
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-・・・+[{(-1)^(n-1)}x^(2n-1)]/(2n-1)!
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!・・・+[{(-1)^n}x^2n]/(2n)!
(2)ｅ＾xにｉΘを代入します。
e^iΘ=1+iΘ/1!+(-Θ）/2!+(-iΘ）/3!+・・・（iΘ）^n/n!
(3)（１）と（２）を見比べてｓｉｎΘの方にｉをかけて出来上がりです。
e^iΘ＝cosΘ＋iｓｉｎΘ
（４）（５）は今考えていますがさっぱりです。
(1)まずは普通にマクローリン展開を行います
e^x=1+x/1!+x^2/2!+・・・+x^n/n!
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-・・・+[{(-1)^(n-1)}x^(2n-1)]/(2n-1)!
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!・・・+[{(-1)^n}x^2n]/(2n)!
(2)ｅ＾xにｉΘを代入します。
e^iΘ=1+iΘ/1!+(-Θ）/2!+(-iΘ）/3!+・・・（iΘ）^n/n!
(3)（１）と（２）を見比べてｓｉｎΘの方にｉをかけて出来上がりです。
e^iΘ＝cosΘ＋iｓｉｎΘ
（４）（５）は今考えていますがさっぱりです。
hmm...
突然長々と書きこむが、
ここで言う部誌は前年度のものからアンケートを取り去ったようなものを想定しているのかな。
なお、前年度と同様の部誌を作りたいと現部長に持ちかけて現在回答待ち。
来年度に回答する、とのことだったから、始業式の後辺りを想定している。
始業式の翌日あたりに３年生を通して打診するつもりだ。
交渉条件は、アンケートの実施のみを委託し、ほかはすべて当方でやる、としておいた。
この条件が通り次第、印刷の委託も交渉する予定。
僕の想定するアンケート項目を記しておく。書いておけば忘れても大丈夫、だと思うので。
〇科学分野
・分類を、中学、高校物理、高校化学、高校生物、数学、戦争、時事、に改編
・上記に加え、マスメディア環境の調査項目を導入（前回の地学などを削れば挿…追加可能かと思う）
・本命は継続
しかし、今までのコメントを読む限り、アンケート実施の必要性はないのかもしれないな。
交渉決裂となれば大人しくアンケートからは手を引くことにしよう。他にもいろいろと凍結されている計画があるし。
突然長々と書きこむが、
ここで言う部誌は前年度のものからアンケートを取り去ったようなものを想定しているのかな。
なお、前年度と同様の部誌を作りたいと現部長に持ちかけて現在回答待ち。
来年度に回答する、とのことだったから、始業式の後辺りを想定している。
始業式の翌日あたりに３年生を通して打診するつもりだ。
交渉条件は、アンケートの実施のみを委託し、ほかはすべて当方でやる、としておいた。
この条件が通り次第、印刷の委託も交渉する予定。
僕の想定するアンケート項目を記しておく。書いておけば忘れても大丈夫、だと思うので。
〇科学分野
・分類を、中学、高校物理、高校化学、高校生物、数学、戦争、時事、に改編
・上記に加え、マスメディア環境の調査項目を導入（前回の地学などを削れば挿…追加可能かと思う）
・本命は継続
しかし、今までのコメントを読む限り、アンケート実施の必要性はないのかもしれないな。
交渉決裂となれば大人しくアンケートからは手を引くことにしよう。他にもいろいろと凍結されている計画があるし。
32の加筆修正後。32は削除。
ニュアンスが自分の意図した通り伝わるか不安な個所があったため。
>>mako君
教育学部外からの教員免許（教職過程）取得者向けに置いてあるのでしょう、きっと。
いいヒントにはなるかもですね。
自然科学部部誌の現在の状況を整理してみた。
いらん事だとは思うが議論の一助になれば。
１、擬似センター：センタースレで議論開始
２、校内アンケート：返事次第。
３、自然科学概論：数学系統については動けるか？
４、社会科学概論：地歴系統に関しては動けるか？
５、その他：ネタ待ち
こんな感じでしょうか？
なんでもいいからネタになりそうなもの、部誌の方向性の一助になりそうなもの募集中！
しかし、傍から見れば私なんざただの暇人ですなｗ
早く学校始まんないかねぇｗ
ニュアンスが自分の意図した通り伝わるか不安な個所があったため。
>>mako君
教育学部外からの教員免許（教職過程）取得者向けに置いてあるのでしょう、きっと。
いいヒントにはなるかもですね。
自然科学部部誌の現在の状況を整理してみた。
いらん事だとは思うが議論の一助になれば。
１、擬似センター：センタースレで議論開始
２、校内アンケート：返事次第。
３、自然科学概論：数学系統については動けるか？
４、社会科学概論：地歴系統に関しては動けるか？
５、その他：ネタ待ち
こんな感じでしょうか？
なんでもいいからネタになりそうなもの、部誌の方向性の一助になりそうなもの募集中！
しかし、傍から見れば私なんざただの暇人ですなｗ
早く学校始まんないかねぇｗ
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