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数学コミュの今日発見したこと、知ったことを書きこむトピ

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コミュ内全体

自分で考えて発見したこと、文献などを読んで知ったことなどを書き込んでいくトピックです。


数学を勉強していると、きれいな定理に出会ったり、すごいと思える事実を発見したりすることは多々あると思います。
ここでは、そういう感動や喜びをみなさんで共有しませんか??

「なかなか証明できなかった定理が証明できた!」「(前から知っていたけれど)改めて○○のすごさが分かった!」などもいいと思います。



<注意>
すごい!と感じるレベルや内容は人それぞれだと思います。
簡単すぎる、面白くないなどの批判はやめましょう。

コメント(663)

>>[623]

議論は以下のトピックで行いましょう。

[mixi] 数学 | 「たまねぎ積分」に関するトピック
http://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=63370&id=80985879#comment_id_1469553354
>>[624]

ありがとうございます。そちらに行きます。
「体積を微分すると表面積になる(この言葉遣いはかなり問題有り)」という問題のそもそものとらえ方についての雑感あせあせ



球の体積を微分すると表面積になる」という表現は、もっと前段階があって出てくることだったのに気が付きました。さも当然のような、あるいはビックリするような球の特性みたいなとらえ方ではなく…

‖扮濛里梁寮僂話羶瓦らxyz三方向の径の長さa,b,cで表され、aまたはbまたはcで(偏)微分しても表面積を表す式にはならないが、特別な場合に限って成立する。それはa=b=cのとき。この立体を、楕円体の集合の部分集合として「球」と呼ぶことにする。

うまくいえませんが、dV/dx=Sとなるのは、楕円体という集合の中の部分集合で成り立つこと。

直方体は、中心からのxyz三方向の長さa,b,cで表され、aまたはbまたはcで(偏)微分しても表面積を表す式にはならないが、特別な場合に限って成立する。それはa=b=cのとき。この立体を、直方体の集合の部分集合として、「立方体」と名付ける。

これも、dV/dx=Sとなるのは、直方体という集合の中の部分集合で成り立つこと。


ですから、[619]の場合も、

円錐という集合の中の部分集合で成り立つ、と言っているわけです。その立体の名前は現行の数学では特に付いていないのでうまく呼べませんが、例えばJ_θと呼べばいいので、円錐という集合はθで類別され、0<θ<π。各θに対して「立体J_θは体積を表す式を微分すると表面積の式になる」。これが「球の体積を微分すると表面積になる」に対応します。

[620]の円柱も同様。円柱という集合を2A(=高さ−直径)で類別する。各Aの値に対応する部分集合に属する円柱に名前がないので、これをF(A)と呼べば、「立体F(A)の体積を表す式を微分すると表面積になる」が成り立つ。

という、ただそれだけのことではないでしょうか。
球に特別な意味があるわけではないように思いました。

あくまで「雑感」ですので、ご勘弁願います。
>>[626]

抽象的な言い方というか乱暴な言い方をすると、

ある立体の体積Vが、rというパラメータ(例えば立方体の場合は立方体の重心というか中心から外面までの距離、球の場合は球の中心から外面までの距離というか球の半径)を使ってrの関数として書けて、
rをdrだけ変化させたときのVの変化dVが

dV=s(r)dr

とrの関数S(r)を使って表すことができる場合に、球や立方体ではS(r)が球や立方体の表面積の式と一致する、

という話かと思いました。

すみません、厳密な表記をしてないことは十重承知してますが、
大学の物理の授業で「ある地点(x,y,z)での気体の密度がρ(x,y,z)と表されるとき微小領域の気体の質量dmはdm=ρ(x,y,z)dxdydzと表せるからある領域での気体の質量mはそれを積分してm=∫ρ(x,y,z)dxdydzでしょ」とか、「ほんとかよ」と思いながらそんなのばっか見てきたので、こんな表現しかできないです(^^;)。
>大学の物理の授業で

それを言うなら
どこの大学のなんという授業か、をはっきりさせてコメントしましょう
でたらめを吹聴するなら自分のコメントととしてのたまうべきなのです


物理においては

n次元空間の単位球の体積
http://phys.sci.hokudai.ac.jp/~kita/StatisticalMechanicsI/Stat5.pdf

気体は分子が運動しているので、時間的に固定された静的な概念としての密度というものは定まりません

統計力学的に、ユークリッド空間上の座標(例えばカーデシアン)の一点に関し、時間と空間に関する平均密度、というものは定まりますがそれは、気体全体を外から眺めたような状況で統計的に定まる概念です

たいてい密度の時空的関数ρ(x,y,z,t)は詳細に知れることがなく、詳細に知れたとしてもそのρ(x,y,z,t)を積分して質量を計算するなんてことはしません


ちなみに、気体ではなく天体の密度や質量では、ρ(x,y,z)に一様などの理想化した条件を与えます

球対称の天体モデルにおける質量分布の計算例
http://hooktail.sub.jp/astronomy/dynamicalTime/
> どこの大学のなんという授業

https://www.amazon.co.jp/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6-1975%E5%B9%B4-%E5%B0%8F%E5%87%BA-%E6%98%AD%E4%B8%80%E9%83%8E/dp/B000JA12WG/ref=sr_1_22?s=books&ie=UTF8&qid=1479283704&sr=1-22&keywords=%E5%B0%8F%E5%87%BA%E6%98%AD%E4%B8%80%E9%83%8E+%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6
初学者に向けた入門書の場合、おおまかな理解を促すために厳密性を犠牲にしていることがよく見受けられるので、なんらかの記述を部分的に抜き出して、他(ここではバームクーヘン積分てきな話)に援用するのには向いてないでしょう
高校教師をしていた者です。今年度から塾と予備校でやっていこうと思い、ある予備校の採用試験を受けたところ、筆記試験で「円の伸開線」についての問題が出ました。

『曲線の事典 性質・歴史・作図法』(編者:磯田正美、Maria G. Bartolini Bussi、共立出版、2009)によると(図がなくて申し訳ありませんが)

「糸のような曲がりやすく伸びない線が、曲線Cの凹凸に沿っておかれているとする。その糸の端を糸が張るように引っ張るとき、糸の端によりかかれる曲線を曲線Cの伸開線といい、糸のおかれている曲線Cを縮閉線という。」

たとえば円の伸開線の場合、円に巻き付いている糸をほどくとき、ほどけていく糸の先の軌跡をその円の伸開線というわけですね。

 しかし私は伸開線についてその名前は見たことがあるものの、それについてまるで考えたことがなかったので、その問題は手に余りました。その問題はこうでした。

「点A ( 0, 1 ) を中心とする半径 1 の円C: x^2 + ( y - 1 )^2 = 1 がある。Cは原点Oを通り、C上にO から反時計回りに長さπの糸が巻き付けてある(糸の先端は点( 0, 2 ) にあることになる)。点( 0, 2 ) からこの糸をほどいていくとき、糸の先端がえがく軌跡と、x 軸、y軸とによって囲まれる面積を求めよ。」

 これに対する私の解答は別に「今日知ったこと」ではないので、■までの解答部分はとばしてくれて結構です(間違いがあればどなたか指摘していただけると大変有難いです)。
 
(私の解答)
 時刻θでの糸の先端の位置をPとし、このとき糸がC上の点Qまでまきついているとする。つまり糸はOからQまで円弧をなし、QからPまでは線分をなしている。点( 0, 2 ) から Q がC上を時計回りに速度θで移動するとすると Q( sinθ, 1 + cosθ)とかける。AからQに向かうベクトルを (AQ) のようにかくとすると

 (AQ) = ( sinθ, cosθ)

で、線分 QP の長さはθで、直線 QP は点Qで円Cに接し、したがって (AQ)⊥(QP) となることから

 (QP) = θ( - cosθ, sinθ) = ( -θcosθ, θsinθ).

∴ (OP) = (OQ) + (QP) = ( sinθ-θcosθ, 1 + cosθ+θsinθ )

よって求める面積 S は

 S = ∫( from 0 to π) ( 1 + cosθ + θsinθ) dθ
 = [ θ+ 2 sinθ- θcosθ ]_0^π
 = 2π  (おわり)    ■

  さて上掲の書物によると、伸開線・縮閉線の概念は、歴史的にはホイヘンスによる振子時計の研究に始まるそうです。以下引用。

「ガリレオ・ガリレイ(Galileo Galilei , 1564〜1642)は、1581年、振動する振子の振幅が大きくても小さくても、1往復に要する時間は同一であることを発見した(振子の等時性)。ただし、実際に等時性が保たれるのは、振子の振幅が小さいときのみである。振幅を小さくすると、空気抵抗などの影響により振子が止まってしまうため、振子時計をうまく作ることができなかった。
 ホイヘンンスは、サイクロイドの等時性を利用した時計を考え始めた。上下逆さのサイクロイドに沿って質点がいかに回転するかを研究し、サイクロイドが等時曲線であることを示した。そこで、ホイヘンスは振子の重りが円弧でなくサイクロイド上を触れるようにできれば、振子時計ができると考えたが(図)、空気抵抗などを無視できず、誤差が蓄積してしまった。最終的には、振子そのものを改良するのではなく、一定の往復運動を与えるための動力源として脱進機(★)を用いることにより、振子の非等時性の問題は解決された。
(★脱進機 : 時計に使われる振子などは、そのままにしておくと動きが弱くなってしまうため、ほんの少しの力を振子に与え続けて、そのうえ正しい速度で動くようにする働きをする部品。)」(引用終)

 この文の前に 「サイクロイドの伸開線はサイクロイドである」 ことの証明が載っており、そこから図のような振子を作れば等時性を持たせることができる、ということのようです。
 ガリレイが見たのは円弧を描く振子だったのかも知れませんが、上の文からすると円弧の振子時計というのは実用上難しかったということでしょうか。しかしサイクロイドの振子時計というのも、円弧よりは現実的ではあるものの、結局は「脱進機」なるハイテク機械(?)を使わなければならなかった……ということのようです。

 サイクロイドは最速降下線であるという応用も有名ですね。
>>[631]

誤解しているとすればお許し下さい。

(私の解答)の中の
S = ∫( from 0 to π) ( 1 + cosθ + θsinθ) dθ というのは、S = ∫(x= 0 to π)y dx のつもりの様な気がしますので、パラメータθに変数変換すると、dx=θsinθdθ、(x=0 to π)→(θ=0 to π)だから、S = ∫(θ= 0 to π) ( 1 + cosθ + θsinθ)θsinθ dθでは?

見当はずれだったらすみません。
>>[631]

時刻θとか速度θとかありますが…どちらですか?
時刻だとすると速度が欲しいし…
速度だと「速度1で」かな?

QはBを出発して速度1で円周上を時計回りにOに向かう。」ですかね?

(0,2)をBとすると、単に∠BAQ=θという理解でよろしいでしょうか?
>>[633]

言葉不足ですみません。はい、速度1で、∠BAQ = θ です。
>>[632]

変数変換については、おっしゃる通りだと思います。

y が x で積分可能であるためには [ 0, π] で y が x の連続関数でなければならないですが

x, y はそれぞれ

x = sinθ-θcosθ,
y = 1 + cosθ+θsinθ

と表されているので、y が x の関数として明示できないだろ、などと変なところで考え過ぎてしまいました。直観的に、このグラフは上に凸な曲線で、y が x の関数であるのは明らかですね。

有り難うございました。
>>[635]

そうなると、

S = ∫(θ= 0 to π) ( 1 + cosθ + θsinθ)θsinθ dθ

を計算しなければ面積は出ませんね。でもあまりやりたくない計算ですね。
パソコンソフトでやって良ければ楽ですが、その採用試験では手計算でやらざるをえないわけですね。

2倍角の公式、部分積分…
θは速度でも時刻や時間でもない、角度のことです。物理では単位はステラジアンなどがありますが、数学では単位を決めないのかもしれない

xやyを角度θによって変数変換して計算するのです
円の伸開線は螺旋であり、円のように閉じた図形になっていない

長さは積分で求められても、面積は計算しづらいでしょうね
http://examist.jp/mathematics/implicit-parametric/involute-circle/
>>[635]

S=(π^3+3π)/6 …かな?

πの3乗が出てきた!
立式の正当性がまずあって、それからの計算ですよ
物理のベルヌーイの定理と数学のベルヌーイ螺旋のベルヌーイが叔父・甥の関係だったこと。
林修の初耳学より
>>[642]
「すべてのアルゴリズムはチューリングマシンで実現できる」の機械工学版みたいですね…。
>>[615]
追記
球充填についての研究史まとめをされた方がいらっしゃいました。

>「ケプラー予想(ジョージ・G・スピーロ著)」メモ
http://ch.nicovideo.jp/metabou/blomaga/ar1119446
まったくの初歩的なことなのかもしれないですが、初学者としては感動しました。

。下,量詰数の連分数表示は循環する!
  10進数表示ではまったくランダムに数字が出現するのに、循環するとはびっくりです。

超越数であるネイピア数eは連分数表示をすると、循環はしないが規則性がある!

D怯杰瑤任△覬濕率πは(正則)連分数表示では規則性がない(らしい)!しかし、正則ではないが、ある連分数表示では規則性が出現する!!

(eとπは種類が違うのか?)
傾きが有理で非零の直線は
x軸とy軸の両方と交わる
小さい方の角を倍にすると
ピタゴラス三角形の角になる
こんにちは
面白いです

人生、宇宙、すべての答えの「42」を3つの立法数の和で表す難問がついに解ける
https://www.gizmodo.jp/2019/09/the-answer-to-life-the-universe-and-everything-finally-cracked.html
アラン・チューリングの親友(?)のクリストファー・モルコムは結構、科学者が多い家系というのはちょっと聞いたけれど、母方の祖父は白熱電球を発明している。
「 p がすべての素数を渡るとすると Σ1/p は発散する」

というのはオイラーの発見として有名ですが、ではそれはどうやって証明するのか、独力で考えようとして何度か挫折した者です。最近になって Tom M. Apostol の Introduction to Analytic Number Theory という本でその簡明な証明法を知ったので、備忘のためにもここに記しておきます(過去に同内容の書き込みがあったらすみません):

 素数を { p_n }で表す。つまり p_1=2, p_2=3, p_3=5, …
 Σ (n=1 to ∞) 1/p_n が収束すると仮定する。
 このときある k に対し 

 Σ (n=k+1 to ∞) 1/p_n < 1/2 (☆)

ここで Q = p_1・p_2・…・p_k とおくと
1 + nQ ( n = 1, 2, … ) は p_1, … , p_k では割り切れないので、
その素因数は p_(k+1), p_(k+2), … に含まれるはずである。r ≧ 1 に対し次の式が成り立つ。

 Σ (n=1 to r ) 1/(1 + nQ ) ≦ Σ ( t = 1 to ∞) { Σ ( m = k+1 to ∞) 1/p_m }^t (★)

というのも、右辺を展開した項の分母には、素因数が p_(k+1), p_(k+2), … である全ての数があらわれるからである。 そして(☆)によると

 (★)の右辺 < Σ ( t = 1 to ∞) ( 1/2 )^t = 1.

よって r → ∞ のとき(★)の左辺は収束することになるが、いっぽうで

 (★)の左辺 ≧ Σ (n=1 to r ) 1/( n + nQ ) = Σ (n=1 to r ) 1/{ n (1+Q)}

で最右辺 → ∞ ( r → ∞) だから、矛盾する。(証明終わり)

ちなみに著者の Apostol は、この証明法のアイディアは James A. Clarkson の1966年の論文
  On the series of prime reciprocals. Proc. Amer. Math. Soc.,17:541;MR32, #5573
によっている、と断っています。


こんにちは。量子コンピュータがブームですが、いまいちよく分からないんですよね。深く理解しようとして専門書を読んでみてもユニタリ演算子云々とか現実の話に結びつかない。

以下のブルーバックスのサイトに良い図が載ってました。
https://gendai.ismedia.jp/articles/-/65951

この図は有名な二重スリットを模したものですが、とても分かりやすいです。

薬や化合物の探索という応用がよう言われてますが、連立微分方程式を計算できないと駄目ですよね。どうやるのだろう?
>>[658]

連立1階常微分方程式の数値解であれば、ルンゲクッタ法が有名ですが…。
>>[659]
ありがとうございます。そうですね。
量子計算で微分方程式を高速に解けるのかな?って思って。いまいち、何が解けて何が解けないのか、それは量子ビットが足りないからか、もし解けたとして何が量子超越性を持つのかがいまいち分からないんですよね。
「大きな素数が発見された」というニュースが出るとき、その素数はメルセンヌ素数、
つまり 2^n - 1 の形であることが多いですね。
 ところで最近ハーディ&ライトの『数論入門機戮鯑匹鵑巴里辰燭里任垢
 2^n + 1 の形の素数はそうそう見つからない、もし見つかったら結構な大ニュースになるようですね。というのも

 2^n + 1 が素数 ⇒ n = 2^m の形 (*)

ということが言えるからで、つまりもし 2^n + 1 が素数なら、
それは「フェルマー素数」2^(2^m) + 1 となります。「フェルマー数」Fm を

 Fm = 2^(2^m) + 1

とすると、それが素数(つまりフェルマー素数)であるのは、現在知られている限り

 F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537

の5つのみで、オイラーが F5 が合成数であることを示して以来、第6のフェルマー素数は見つかっていません。だから「2^n + 1 の形の素数発見」というのはそのまま「新たなフェルマー素数発見」ということで、そうそう聞けないニュースだと思うのです。

(*)をすこし一般化した次の定理が上掲書にあったので記しておきます:

「 a が 2 以上の整数で、正整数 n に対し a^n + 1 が素数ならば
 a は偶数で n = 2^m の形である。」

(証明)仮に a が奇数だったとすると a^n + 1 は( 2 より大きい)偶数となり、素数でなくなってしまう。よって a は偶数。
 また n が奇数の約数 j ( > 1 ) を持っていたとし、n = j k とすると

 ( a^n + 1 )/( a^k + 1 ) = ( a^j k + 1 )/( a^k + 1 )
= a^( j-1 )k - a^( j-2 )k + a^( j-3 )k - ... + 1

となり、a^n + 1 は a^k + 1 で割り切れ、素数でなくなってしまう。
 よって n は偶数の約数しか持たず n = 2^m の形に表される。■

Arthur Gansonという芸術家の作品です
https://youtu.be/5q-BH-tvxEg

モータは200rpm、減速比1/50の歯車ペアが12組連結されています。
なので、最後の歯車が1回転するのにかかる時間は、
1/200*50^12 分=2,322,494,530,060年≒2.3兆年。
宇宙の年齢が138億年らしいので、とんでもない時間ですね。
最後の歯車はほとんど動いていないに等しいのでコンクリートに固定しているとのことです。
円周率 π が無理数であることの証明は、やや複雑な式計算が要るなど少し面倒ですけど
自然対数の底 e が無理数であることは、割と簡単な手続きで証明できるんですね。
これもハーディ&ライトの『数論入門機戮巴里辰燭里任垢、まず

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... (★)

であることから出発する。e (>0) が有理数だと仮定し

e = a/b ( a, b は正整数 )

とおく。k ≧ b なる整数 k をとり

α = k! ( e - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/k! )

とおくと(★)より α > 0 で、e = a/b で b は k! を割り切ることから α は整数。
(★)を使うことにより

0 < α = k! { 1/( k+1 )! + 1/( k+2 )! + ... }
   = 1/( k+1) + 1/{( k+1 )( k+2 )} + 1/{( k+1 )( k+2 )( k+3 )} + ...
   < 1/( k+1) + 1/( k+1)^2 + 1/( k+1)^3 + ...
   = 1/k < 1.

 これは α が整数であることに矛盾する。よって e は無理数 ■


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