数学の質問＆宿題○投げ場コミュの広中杯の問題です。

ある国では通貨に日本と同じ『円』が使われている。消費税も5%であるが、ただひとつ違うのは、消費税加算後の金額の1円未満を、切り捨てではなく四捨五入としていることである。日本では、110円のものを買うと、5%を加算して115.5円となり、これを小数点以下切り捨てることで115円、これが支払うべき(消費税加算後の)金額となるが、この国では小数点以下を四捨五入して116円、これが支払うべき金額となる。
では、2003の倍数の金額(円)で、このある国で消費税加算後の金額にはならない最小の金額はいくらになるか。
このような問題です

よろしくお願い致します。

コメント(10)

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[1] mixiユーザー 05月20日 17:02

『消費税加算後の金額にならない』とはどういう意味でしょうか？お願い致します

[2] mixiユーザー 05月20日 19:08

例えば、1円の物を買ったとすると、消費税を加算すると 1.05円になります。
実際に払うのは、1円ですね。同じように考えていくと

加算前 1円　→　加算後 1.05円 →　支払い 1円
加算前 2円　→　加算後 2.1円 →　支払い 2円
・・・
加算前 9円　→　加算後 9.45円 →　支払い 9円
です。

ところが、10円の物だと、加算すると 10.5円になり、小数点以下を
四捨五入するから、11円払うことになります。

加算前 10円　→　加算後 10.5円　→　支払い 11円
ですね。つまり、10円を支払うことはありません。
そういう意味で、10円は「消費税加算後の金額にならない」のです。

同じように考えていくと、

加算前 29円　→　加算後 30.45円　→　支払い　30円
加算前 30円　→　加算後 31.5円 →　支払い　32円

となるので、31円も、消費税加算後の金額になりません。

一般には、10 + 20n + n = 21n + 10（円）は、消費税加算後の金額に
なりません。（n は、0 以上の整数です。）

ですから問題は、「21n + 10 となるような、2003の倍数のうち
最小のものを探せ」ということになります。

とりあえず、ここまでで。

[3] mixiユーザー 05月20日 20:31

> まこりんさん

なるほど

ありがとうございます。
10+20n+n
はどのように導き出されたのでしょうか？お願い致します

[4] mixiユーザー 05月21日 02:52

> まこりんさん

消費税加算後の金額にはならないのは、
10，31，52，73，94・・・
初項10，公差21
21n-11(nは自然数)
ここからどのように計算すればよいでしょうか？お願い致します

[5] mixiユーザー 05月21日 04:14

あ　そこまでは大丈夫なんですね？
確かに、21n -11 の方が、すっきりしますね。(21n + 10 でも同じですが)

問題は、2003m = 21n -11 となる最小の自然数m を見つけよということになります。
ここから、ユークリッドの互除法と呼ばれる方法を使います。

2003 = 21 × 95 + 8 なので、

2003m = 21n - 11 は、
8m + 11 = 21(n - 95m)
と変形できます。

n' = n - 95m とおくことにより、問題は、

(1) 8m + 11 = 21n'
となる最小の自然数mを見つけよということになりますね。
まだ、よくわからないので、21 = 8 × 2 + 5 および 11 = 8 × 1 + 3を使って
この式を　
8(m - 2n' + 1) = 5n' - 3 と変形します。

m - 2n' + 1 = m"　おくと、
(2) 8m" = 5n' - 3
です。
これをみたす最小の自然数n'が見つかれば、mもわかりますね。
まだ大変なので、
8 = 5 × 1 + 3 を使って、
5(n' - m") = 3m" + 3
すなわち、
5(n' - m") = 3(m" + 1) を得られます。
左辺は 5 の倍数だから m" + 1も 5の倍数でなければならず、
そうなるような最小のm"は、4 ですね。
これを (2)式に代入すると、n' = 7 それを (1)式に代入し、
m = 17 が得られます。

以上より答えは、2003 × 17 = 34051 となります。

[6] mixiユーザー 05月21日 10:58

> まこりんさん

ありがとうございますo(^-^)o

2003=21*95+8
に分けていますが、そう簡単には分解できないですよね？？何か特別な事を行っているのでしょうか？よろしくお願い致します

[7] mixiユーザー 05月21日 11:33

2003 を 21 で、わってるだけです。

[8] mixiユーザー 05月21日 12:39

> まこりんさん

なるほど

ありがとうございます♪

8m+11=21n’→?の部分で8*1+3=11
8*2+5=21

8(m-2n’+1)=5n’-3
と変形してらっしゃいますが、?の式の11，21の部分に、
11=8*1+3
21=8*2+5
を代入し、整理しただけでしょうか？何度も申し訳ありません。

[9] mixiユーザー 05月21日 14:00

そういうことです。

最初は、2003 と 21 の組み合わせなんですが、
その組み合わせを簡単にしていくのが、ユークリッドの互除法です。

(2003, 21) → (21, 8) → (8, 5) → (5, 3)
という具合ですね。必要なら、さらに進めて

(5, 3) → (3, 2) → (2, 1)

と出来ますね。

[10] mixiユーザー 05月21日 14:43

> まこりんさん

分かりやすい御説明ありがとうございました(*^_^*)

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